Propriétés de l'addition. — Le signe de Taddition est

le signe -+- ; ce signe se lit plus ; ainsi 5-1-4 indique qu'il

faut ajouter 4 et 5, ou 5 et 4; on indique le résultat en le

séparant de ce groupe par le signe =, qui se lit égale ;

ainsi

' Cet ensemble constitue une égalité^ 5 -*- 4 est le premier

membre^ 9, le second membre de Pégalité,

Lorsque, dans une proposition quelconque, ce que Ton

suppose relativement à un nombre n'a pas lieu seulement

pour un nombre isolé, mais pour beaucoup d'autres, et

mêine pour une infinité, on désigne l'un quelconque de

ces nombres par une lettre de l'alphabet. A, par exemple.

S'il s'agit d'un nombre qui contienne un nombre exact de

fois 10, A sera l'un quelconque des nombres de la suite

infinie

Pour exprimer que le nombre entier C est la somme des nombres entiers A et B, on écrit A-f.B = C.

Si nous considérons plusieurs groupes d'objets que nous voulons réunir en un seul groupe, peu importe l'ordre dans lequel nous ferons cette opération, le nombre total des

objets n'en dépend d'aucune façon ; nous pourrons en outre, avant de les réunir tous, réunir entre eux plusieurs groupes ; cela n'altérera pas non plus le nombre total des objets. L'addition jouit donc des deux propriétés suivantes, qui sont fondamentales :

1** Elle est commutative^ c'est-à-dire qu'on peut, dans une addition de nombres entiers, changer l'ordre de ces nombres, sans troubler le résultat. Si l'on désigne par A, B, C, D, etc. des nombres entiers quelconques, cette propriété

s'exprime ainsi : .

ou A-1-B-f.C-hD = B-hA + D-hC.

Cette propriété sert à faire la preuve d'une addition quelconque par une autre addition portant sur les mêmes nombres écrits dans un autre ordre.

2° Elle est associative, c'est-à-dire que si l'on commence par faire des sommes partielles, avec certains de ces nombres, la somme de ces sommes est la somme totale. Cette propriété s'exprime ainsi :

A-hB + C = A-H(B + C)

ou A-i-B4-C + D-|-E = A4-(B-f-C-hD)-f.E,

(B+C) désignant la somme de B et de C.

On se sert de cette propriété pour remplacer une addition trop longue par plusieurs additions plus courtes, dans lesquelles les chances d'erreurs sont moindres.

3* Enfin l'addition jouit de la propriété

A-hO = A,

qui résulte de la définition du nombre 0.

24. Inégalités. — Si le nombre entier A vient après le nombre entier B, dans la suite naturelle des nombres en. tiers, on dit que A est plus grand que B, ou que B est plus petit que A. On se sert des signes > et <, pour exprimer

ces deux modes de comparaison ; ces signes se lisent : plus grand que^ et plus petit que^ et Ton écrit :

A > B ou B < A ; exemples : 12 > 7, 6 < 15.

Un pareil ensemble de deux nombres constitue une inégalité; celui qui est à gauche est le premier membre de Tinégalité ; l'autre, le second membre. Autre exemple : 5 + 2H-7-4-1 <20H-6;

le premier membre est 5+2+7+1, le second, 20 + 6; le signe < indique ici le sens de Tinégalité.

Si un nombre entier A est plus grand qu'un nombre entier B, il est la somme de B et d*un certain nombre d*unités, c'est-à-dire la somme de B et d^un nombre entier C. Réciproquement, si un nombre A est la somme de B et de C, il vient après B dans la suite naturelle des nombres entiers et il est plus grand que B. Ainsi Tégalité

A = B + C et l'inégalité A > B

s'entraînent mutuellement, en désignant par C un certain nombre entier.