DS'= D(A' -4- B' 4- C) = DA' 4- OB' + DC

Le produit SS' s'obtient en faisant la somme de toutes ces égalités, et on a

(A-+-BH-C-4-D)(A+B+C)- i+GA'+CB'+CC'+DA'+DF+DC.

C'est justement ce qu'il fallait établir. La démonstration est la même dans tous les cas.

La multiplication est une opération associative^ c'est-à-dire que dans un produit de facteurs on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur produit effectué.

s En effet, soit ABCDEFGH un produit de 8 facteurs, par ■exemple; désignons le produit effectué de C, E, H, par jP; nous allons montrer qu'on peut remplacer les trois facjteurs C, E et H par P. Pour cela, il suffit de rappeler que l'on peut toujours amener ces trois facteurs aux premiers rangs, et ainsi

ABCDEFGH = CEH.ABDFG.

Or, pour obtenir le second produit, on commence d'abord

ARITHM. HUMB, *

par effectuer le produit CEH, c'est-à-dire que ron remplace CEH par P. Donc, etc.

Pour multiplier la différence de deux nombres par un troisième^ on peut multiplier les deux nombres par ce troisième et retrancher les résultats.

Soit, en effet, B = Bj — Bj ; cette égalité est équivalente à Bj = B + Bj, et Ton a, d'après ce qui précède, BiA = BA -{- BjA; on voit donc que BA = BiA — BjA,

c'est-à-dire

(Bj — B3)A = B,A — BjA,

ce qu'il fallait démontrer.

On ne change pas le sens d'une inégalité^ en multipliant les deux membres par un même nombre. (Il s'agit, bien ôatendu, ici, de nombres entiers ordinaires.)

Soit B, >B3; cela revient à écrire Bi = B, -+-B.

Multiplions les deux membres de cette égalité par A ; nous

aurons

ABj = ABj -+- AB;

donc ABj est plus grand que ABj et l'inégalité Bj >• B,

entraine

ABj > AB,.

La réciproque est facile à établir.

Enfin la multiplication jouit des deux propriétés marquées par les égalités AXi = A, AXO = 0.

Telles sont les propriétés fondamentales de la multiplication des nombres entiers.

40. Quelques propositions relatives aux produits de facteurs (*).

i^ Pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de le multiplier successivement par chacun des facteurs du produit,

* On désigne sous le nom de proposition une vérité dont l'énoncé est à la fois concis et complet, et qu'il faut établir en s'appuyant sur d'autres vérités déjà démontrées. On emploie souvent le nom de théorème à la place de celui de proposition.

Cette proposition est identique au fond à celle que nous avons déjà démontrée pour établir que la multiplication est associative ; la démonstration que nous allons en donner est du reste calquée sur celle-là.

Soient P = ABC un produit de facteurs, et N un nombre quelconque; on a NP = PN. Or, la définition d'un produit de plusieurs facteurs nous montre que ABCN = PN , puisque , pour évaluer ce produit , on multiplie d'abord A par B, puis le résultat par C, puis enfin ce nouveau résultat par N. On a donc

NP = PN = ABCN et ABCN = NABC;

donc • NP = NABC.

La proposition est donc établie.

Exemple : 8X 125 = 8X5X5X5 = 1000.

2* Pour multiplier un produit de facteurs par un nombre quelconque^ il suffit de multiplier lun des facteurs par ce nombre.

Soit le produit ABC à multiplier par N ; si nous désignons par P le produit ABC, nous aurons

PN = ABCN = BNAC;

nous pouvons maintenant remplacer BN par le produit effectué, Q, et nous aurons

ABCN = QAC = AQC ;

or, Q est égal au produit de B par N, donc la proposition est établie ; car il est visible qu'on procéderait de môme, dans un cas quelconque, pour un facteur choisi arbitrairement.

Exemple : 8 X 25 X 12 à multiplier par 4 ; on a 8 X 25 X 12 X 4 = 8 X (25 X 4) X 12, ce qui est égal à 8 X 100 X 12 ou à 9600.