AB

Il résulte de là que AB contient au moins 7 chiffres et au plus 8 ; si donc on généralise le résultat que Ton vient d'obtenir, on peut dire que le produit de deux nombres contient autant de chiffres qu'il y en a dans les deux nombres réunis, ou un de moins.

Exemples : le produit

57324 X 236 = 13518464 contient 8 chiffres, autant qu'il y en a dans les deux nombres ensemble; tandis que le produit

17428X236 = 4113008 contient un chiffre de moins.

38. Propriétés de la multiplication. — La multiplication est une opération commutative.

Le multiplicande et le multiplicateur d'un produit s'appellent les facteurs de ce produit.

On peut définir aisément les produits de plus de deux facteurs. On adopte la définition suivante : un produit de plusieurs facteurs s'obtient en multipliant le premier par le second, puis le résultat par le troisième, puis le nouveau résultat par le quatrième, etc.

(*) Le signe ^ se lit inférieur ou égal à ; il indique in que A est « rdi- Dairement plus grand que 10000, mais qu'il peut accideatellement être égal à 10000.

Ainsi, par définition, le produit

2.4.3.7.8 ou 2X4X3X7X8 s'obtient en multipliant 2 par 4, puis le résultat, 8, par 3, puis le résultat, 24, par 7, puis le résultat, 168, par 8, ce qui donne 1344 pour valeur du produit.

1* On n'altère pas un produit de deux facteurs, en échangeant entre eux les deux facteurs.

Soient A et B les deux facteurs; il s'agit de montrer que

A.B = B.A. Pour cela, écrivons sur une ligne horizontale

A fois l'unité, le nombre 1 ; puis répétons B fois cette

ligne :

A unités

Par définition de la multiplication, il y aura A.B unités

dans ce tableau. Or, il y a A colonnes qui contiennent

chacune B unités ; il y a donc B.A unités dans le même

tableau. Donc

2° On n'altère pas un produit de trois facteurs, en échangeant entre eux les deux derniers.

Soient A, B, C les trois facteurs ; il s'agit de montrer que A.B.C = A.C.B.

Pour cela, écrivons B fois le nombre A sur une ligne horizontale, et répétons C fois cette ligne

B nombres A

MULTIPLir.ATION 47

chaque ligne, contenant B fois le nombre A, contient A.B unités, et comme il y a G lignes, le tableau contient A.B.C unités, par définition du produit A.B.C ; de môme chaque colonne contient G fois le nombre A, c'est-à-dire A.G unités, et, comme il y a B colonnes, le tableau contient A.C.B unités. On a donc bien

3» On n'altère pas un produit de plusieurs facteurs, en échangeant entre eux deux facteurs consécutifs.

Soient A, B, G, D, E, F, G, H des facteurs en nombre quelconque, huit par exemple. Si nous échangeons les deux facteurs D et E le produit ne change pas, et Ton a

ABGDEFGH = ABGEDF6H.

En effet, si nous montrons que

ABGDE = ABGED,

la propriété sera établie, car pour avoir les deux produits nous aurons alors à faire les mêmes opérations sur le mémo nombre, multiplier les deux membres de l'égalité successivement par F, G, H, ce qui conduira au même résultat.

Désignons par P le produit ABC effectué; nous avons vu antérieurement que

PDE = FED ;

et si nous remplaçons P par les trois facteurs A, B, C, ce qui est permis, d'après la définition d'un produit de plusieurs facteurs, nous obtenons l'égalité qu'il fallait établir.

4" Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut écrire Us divers facteurs dans un ordre quelconque^ sans altérer U résultat.

En eflet, on peut amener au premier rang celui des facteurs que l'on a choisi, en l'échangeant successivement avec ceux qui sont avant lui ; cela fait, on amènera de môme au second rang tel facteur que l'on voudra ; puis, au troisième rang, n'importe quel autre facteur; etc.

On résume tout ce qui précède en disant simplement que dans un produit de facteurs on peut intervertir Tordre des facteurs.

Cette propriété de la multiplication s'exprime en disant que cette opération est commutative.

Remarque. — Lorsqu'on veut effectuer une multiplication, on peut prendre pour multiplicateur n'importe lequel des deux facteurs ; on choisit généralement celui qui a le moins de chiffres non nuls (autres que des zéros).

On peut aussi se servir de cette propriété pour faire la preuve d'une multiplication : il suffit d'échanger le multiplicande et le multiplicateur et de reconmiencer l'opération; si l'on retrouve le même résultat, il y a une forte présomption pour que l'opération soit juste.

39. Autres propriétés de la muittplicatioii. — La multiplication est une opération distribuiive par rapporta V addition^ c'est-à-dire que pour multiplier une somme par un nombre quelconque, on peut multiplier chacune des parties de la somme par ce nombre et ajouter les résultats.

Ainsi

(B, -h B2 4- . . . . + Bh)A = B|A 4- BjA + . . . . + B„A.

Cette propriété a déjà été établie au n° 35; mais on peut l'expliquer en deux mots en remarquant que si l'on répète A fois im ensemble de groupes d'objets, chaque groupe se trouve répété A fois.

D'ailleurs la première propriété de la multiplication nous permet d'écrire

(Bi-i- Bj + ....+ Bn)A = A(Bj-f-Bj -+- .... + B„), et BiA = ABi, BjA = AB^, B^A = AB„ ;

donc on a aussi

A(B 4. Ba + . . . . + Bn) = ABj -f- ABa -4- . . . . + AB„.

C'est du reste de cette propriété que nous avons déduit la manière d^effectuer Topératiou, dans le cas général.

Pour multiplier deux sommes Vune par Vautre^ on peut muU tiplier chaque partie de tune par chaque partie de Vautre et ajouter les résultats.

En effet, soit S=:A + B + C + D une somme de 4 parties par exemple, et soit S' = A' h- B' -h G une somme de 3 nombres. Nous pouvons écrire

SS' = (A-f-BH-C + D)S',

et, d'après la propriété précédente, le second membre est

égal à

AS'-*-BS'-hCS' + DS';

or AS' = A(A' + B' + G) = AA' + AB' -+- AC,

BS' = B(A' -H B' -+- G) = BA' -+- BB' -h BC,

CS' = G{A' H- B' 4- C) = CA' + OB' -h CC,