Régies de calcul simples relatires aux exposants

i^ Le produit de deux puissances d'un même nombre est une autre puissance de ce nombre , ayant pour exposant la somme des exposants des deux facteurs.

Ainsi A"*. A*» = A"*"^**.

En effet. A*" est le produit de m facteurs égaux à A, A* est le produit de n facteurs égaux à A ; il y a donc, dans le produit total, m-i-n facteurs égaux à A. Donc, d'après la définition de l'exposant, ce produit se représente par A'"+\

On peut étendre cette règle au produit d'un nombre quelconque de puissances d'un môme nombre A, et montrer que le produit est une autre puissance de A ayant pour exposant la somme des exposants des facteurs.

En effet, soit à multiplier A"* par A", puis le résultat par ,\^ puis le nouveau résultat par A«, etc.; d'après la règle l>récédente, le produit de A"* par A" est A*""*^; en multipliant ce résultat par A?, on trouve de môme A"»*'»^' ; en multipliant ce nouveau produit par A^, on trouve de même ^s^m+n+p+q . q^q qu a douc bicu

A'^.A^'.A^.A^.... = AW^"+^"^«+

Exemples : 3*.3' = 3" ;

f* Pour élever une puissance d*un nombre à une nouœllê puissance, on multiplie Vancien exposant par le nouveau.

Ainsi (A"*)" = A"»".

Ponr démontrer cette proposition, nous remarquerons que (A**)" est le produit de n facteurs égaux à A*". Or, d'après la propriété précédente, on obtient le produit de toutes ces puissances de A en faisant la somme de tous les exposants de A, c'est-à-dire en répétant m, n fois ; ce qui démontre la proposition énoncée.

On a aussi (A**)"* =: A*" ;

d'où (A»»)*» = (A")»".

On voit donc que pour élever un nombre à deux puissances successives, on peut commencer par celle que Ton veut.

3* Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconquCy on élève chacun d'eux â cette puissance.

Ainsi (ABC)" = A"B«C".

Pour établir cette proposition, il suffit de remarquer que (ABC)*^ est le produit de n facteurs égaux à ABC, (ABCf = ABC.ABC....ABC (n fois) ; nous pouvons maintenant, dans le second membre, écrire tous les facteurs A à la suite Tun de l'autre, ce qui donnera A", puis tous les facteurs B à la suite l'un de l'autre, ce qui donnera B*, etc.

* 43 . Produit de deux nombres entiers positifs ou négatifs. — i*^ Nous allons définir d'abord le produit d'un nombre négatif par un nombre positif.

A cet effet, rappelons que, dans le cas où les nombres A et B sont positifs et où A est plus grand que B, l'égalité conditionnelle B + C = A, définit un nombre positif G qui est égal à la différence entre A et B : C = A — B.

Si, dans ce cas, nous multiplions A et B par un nombre positif D, régalité BD -h Cj = AD définit un nouveau nombre positif C|, car AD > BD ; nous allons montrer que ce nombre

Gj est égal au produit de G par D. En effet, si nous mettons dans un tableau les unités de A, puis dans un autre tableau les unités de B, et que nous barrions dans le tableau A autant d'unités qu'il y en a dans le tableau B, et aussi les unités du tableau B, le nombre G est égal au nombre des unités non barrées du tableau A ; répétons maintenant, tels qu'ils sont actuellement, les tableaux A et B chacun D fois ; les nouveaux tableaux contiendront autant d'unités barrées l'un que l'autre, puisque cela avait lieu primitivement ; donc les unités non barrées du nouveau tableau A donnent le nombre AD — BD ; mais, d'autre part, le nouveau tableau A contient D fois autant d'unités non barrées que l'ancien ; donc, ce nombre est égal au produit de G par D, et Gj = GD.

Nous voyons en passant que si A et B sont positifs et A > B, on a l'égalité suivante, déjà établie autrement :

(A-B)D = AD-BD, en supposant D positif.

Supposons maintenant A et B positifs, mais A < B ; l'égalité conditionnelle B + G = A définit alors un nombre G, négatif, et que nous avons représenté par — (B — A). Si nous multiplions A et B par un nombre positif D, la nouvelle égalité BD -H Gj = AD définira un nombre négatif, Gi, car BD > AD, et nous dirons que le nombre d est le produit de G par D. Gette définition est naturelle, d'après ce qui précède.

Mettons maintenant les unités de A dans un tableau positif, A, celles de B dans un tableau négatif, B, et barrons autant d'unités dans un tableau que dans l'autre, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'unités non barrées dans A ; le nombre négatif formé avec les unités non barrées du tableau négatif B est le nombre G. Bépétons D fois ces deux tableaux ; ils contiendront ^encore autant d'unités barrées l'un que l'autre et il n'y aura aucune unité non barrée dans le tableau positif ; donc celles qui resteront dans le nouveau tableau négatif donneront le nombre négatif AD — BD ; mais il y en a D fois; autant que dans l'ancien tableau négatif B ; donc le nouveau nombre négatif Gj contient D fois autant d'unités que G, abstraction faite des deux signes — .

On déduit de là la règle suivante :

Pour former le produit d'un nombre négatif par un nombre positif, on fait le produit des valeurs absolues et on donne au résultat le signe —,

2° Afin de conserver à la multiplication la propriété qu'elle a d'être commutative, nous prendrons toujours GD = DG, même dans le cas où l'un des nombres est positif et l'autre négatif, et nous définirons ainsi le produit d'un nombre positif D par un nombre négatif G. Ce produit est donc donné par la même règle que la précédente.

MULTIPLICATIO» 55.

3^ 11 nous reste maintenant à dire ce qu'on entend par lepro* duit de deux nombres négatifs. .

Supposons, comme précédemment, A et B positifs et A < B ; Pégalité B-4- C = A définit un nombre négatif G ; multiplions B et A par un nombre négatif D ; nous dirons encore que Tégalité BD + Cl = AD définit un nombre Q qui est le produit de G par D. Or Gj = ÂD — BD, et cette soustraction de deux nombres négatif a été étudiée ; nous avons vu que Ct = |BD| — |AD| ; comme B > A, nous sommes ramenés à une soustraction ordinaire et nous voyons que le nombre C| est positif et égal au produit de B — A par la valeur absolue de D. Donc nous arrivons à la règle suivante :

Pour faire le produit de detm nombres négatifs, on fait le produit de leurs valeurs absolue et on donne au résultat le signe -+-.

Les tableaux suivants contiennent ce qu*on appelle communément les règles des signes :

* 44. Multiplication d*ttne somme algébrique par on nombre entier positif. — Soit la somme algébrique

S=: A + B + C^-...-4-K^-L, A, By G, . . . K, L étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Pour avoir S, nous mettrons les unités des nombres positifs dans un premier tableau, de façon que les groupes correspondant à ces nombres y restent séparés ; de même, nous mettrons les unités des nombres négatifs dans un deuxième tableau, de façon que les groupes correspondant à ces divers nombres y restent séparés. Nous barrerons autant d'unités dans Tun des tableaux que dans Tautre, jusqu^à ce [que Tun d*eux ne contienne plus d'unités ; le nombre restant dans le tableau où il y a des unités non barrées, pris avec le signe du tableau lui-même, est le nombre S.

Maintenant, pour multiplier S par un nombre positif P, il suffît de répéter P fois les unités de S> et de donner au résultat le signe de S ; mais ceci se fait évidemment en répétant P fois chacun des deux tableaux, avec les unités barrées ou non barrées qu'ils renferment ; et, comme les nombres qui forment S y sont isolés, chacun des nombres de S est répété P fois, et le produit définitif est la somme algébrique de tous ces produits partiels. Nous arrivons donc à la règle suivante :

"Pour multiplier une somme algébrique par un nombre positifs on multiplie chacune des parties de cette somme par le nombre

employéyet on forme une nouvelle somme algébrique avec tous ces résultats,

' * 45. MuUiplioation d'une somme algébrique |par un nombre entier négatif. — Soit, comme précédemment,

S = A + B-4- C 4-. . .-h K-h L une somnie de nombres entiers positifs ou négatifs ; nous avons vu au n** 43 que le produit de S par un nombre négatif est de signe contraire à S ; soit donc P = — Q un nombre négatif quelconque, le produit SP sera égal à — SQ. Il résulte de là que pour avoir ce produit il faudra répéter Q fois chacun des tableaux qui ont servi à calculer S, en ayant soin d'échanger entre eux les signes afférents à ces tableaux ; il est clair, en effet, que le nombre des unités non barrées dans celui des tableaux qui en contient le plus, n'est pas altéré par ce changement, le signe seul du nombre ainsi représenté est changé ; et, comme en ne changeant pas les signes des tableaux, on eût obtenu ainsi le produit SQ, on obtient alors le produit — SQ. Mais, les nombres de S qui se trouvent isolés dans les deux tcibleaux primitifs, sont répétés chacun Q fois par ce procédé, et les signes qui leur sont adjoints sont changés ; donc dans les derniers tableaux figurent les produits de ces nombres par P ou — Q. De là, la règle qui suit, et dans laquelle on a compris la précédente :

Pour multiplier une somme algébrique par un nombre quelconque, positif ou négatifs on multiplie chacune des parties de la somme par ce nombre, et on forme avec les résultats une nouvelle somme algébrique. Ainsi

(A + B + C4-. . .-i- UP = AP-f- BP-hCP+. . .-hLP, que le nombre P soit positif ou négatif. On dit que le premier membre se déduit du second, en mettant P en facteur.

* 46. Multiplication de deux sommes algébriques. — Dorénavant, nous appellerons terme d'une somme algébrique Tune quelconque de ses parties.

Soient alors