S = AH-B4-GH-...-HL

S' = A'-hB'4-G'+.. +L', deux sommes algébriques à multiplier Tune par l'autre ; d'après les n«* 44 et 45, on a

SS' = (A + B + C-4- . . . -hL)S' = AS' -h BS' +. . .+ LS' ; on a, de même,

AS' = S'A = (A'4-B'+C'-4-. . .-f-L')Â=A'A+B'A-4-G'A+. . .-f-L'A, BS' = SB = (A'-|-B'+C'+. . .4-L')B = A'B+B'B-hC'B-i-. . . -f-L'B,

LS' = S'L = (A'+B'4-G'+. . .-f-L')L = A'L-i-B'L+G'L+....L'L.

Si on ajoute tous ces produits, on obtient, d*une part, le produit SS', d'autre part, une somme algébrique qui contient le produit de chacun des termes de S' par chacun des termes de S. On peut donc énoncer la règle suivante :

Pour multiplier entre elles deux sommes algébriques, on fait le produit de chacun des termes de l'une d'elles successivement par tous les termes de Vautre, de façon que chacun de ces produits partiels soit pris une fois et une seule, et on forme une nouvelle somme algébrique avec tous ces résultats.

Si Tune des sommes contient m termes et Tautre n, le produit contient wn termes.

Les résultats des deux numéros précédents peuvent s'exprimer en disant que la multiplication plus générale dont nous nous occupons ici est distributive par rapport à Taddition des nombres entiers, positifs ou négatifs.

Le théorème que nous venons d'établir peut ôtrej généralisé et étendu au produit d'un nombre quelconque de sommes algébriques. Gela sera fait plus tard ; et nous reporterons aussi, après la théorie des nombres fractionnaires, ce que nous aurions à dire dès maintenant des inégalités : nous éviterons ainsi de trop nous répéter sur le même sujeL