CHAPITRE V
47. Ppéliminalpes, définition. — On appelle multiples d'un nombre les produits de ce nombre par tous les nombres entiers.
Les multiples de 3 forment la suite infinie
tous les nombres ne figurent pas dans cette suite ; par con-; séquent un nombre quelconque n'est pas un multiple de 3.! D'une manière générale, les multiplps d'un nombre A sont des nombres déterminés,
et un nombre quelconque n'est pas multiple de A.
Si l'on suppose qu'un nombre B soit un multiple de A,' B devra être le produit de A par un nombre entier C. La division de B par A a pour but de chercher le nombre C, s'il existe.
La division a pour buty étant donnés deux nombres \ et B, de chercher par quel nombre C il faut multiplier A pour avoir B; ou bien :
La division a pour but. étant donnés deux nombres A et B, de chercher combien de fois A est contenu dans B.
Ces deux définitions sont évidemment équivalentes.
Nous voyons en outre que la division est l'opération inverse de la multiplication.
Il suflît de se reporter à ce qui précède, pour voir qu'en général, cette opération est impossible. Si elle est possible, on aura B = AC, C étant le nombre inconnu.
Le nombre B s'appelle dividende ; A est le diviseur et C le quotient.
La division de B par A se désigne en écrivant B audessus de A et en les séparant par un trait; on écrit
— = C, et on lit B sur A égale C ou B divisé par A
égale C.
Exemples: -- = 6, — =s 9, y o
Dans le premier cas, 54 est le dividende, 9 le diviseur,
6 le quotient ; dans le second, 27 est le dividende, 3 le
diviseur et 9 le quotient.
48. Manières évidentes d'effectuer l'opération. — Soit à diviser B par A ; si Ton connaît un assez grand nombre des multiples de A,
il n'y aura qu'à chercher parmi ceux-ci le nombre B ; si B est dans cette suite, l'opération est possible et le rang du nombre B est le quotient ; si B n'est pas dans cette suite, l'opération est impossible.
Exemples : Soit à diviser 216 par 36. Formons la suite des multiples de 36,
nous verrons immédiatement que 216 est dans cette suite ; nous en concluons que l'opération est possible, et que le quotient est 6, car 216 étant au sixième rang, on a 216 = 36 X 6.
Soit à diviser 221 par 36 ; la suite des multiples de 36 est
le nombre 221 n'est pas dans cette suite ; donc l'opération est impossible.
On peut procéder autrement et retrancher de 216 le nombre 36 autant de fois qu'on le pourra ; nous dirons alors :
36 de ^16, reste 180; 36 de 180, reste 144; 36 de 144, reste 108 ; 36 de 108, reste 72 ; 36 de 72, reste 36 ; 36 de 36, reste 0. Le nombre 36 est donc contenu exactement 6 fois dans 216 ; par conséquent Topération est possible et le quotient est 6.
Dans le cas général, on retranchera A de B autant de fois qu'on le pourra, successivement. Si on trouve 0 pour dernier reste, Topération est possible, et le quotient est égal au nombre des soustractions effectuées ; si le dernier reste, inférieur à A, n'est pas nul, l'opération est impossible, A n'est pas contenu un nombre exact de fois dans B.
C'est dans ce sens que Ton dit parfois que la division est une soustraction abrégée.
49. Division avec reste. — Lorsque B n'est pas un multiple de A, il est forcément compris entre deux multiples consécutifs de A ; ainsi 221 est compris entre deux multiples consécutifs de 36, 216 et 252, ou 36X6 et 36 X 7. On peut définir alors une opération très voisine de la précédente et que Ton appellera encore division. On dira que dans ce cas la division a pour but de chercher le plus grand multiple du diviseur qui est contenu dans le dividende, ou, plus exactement, le quotient de ce plus grand multiple par le diviseur ; ce qui reste du dividende, une fois ce multiple enlevé, s'appelle le reste de l'opération; le reste est toujours plus petit que le diviseur. Autrement :
La division de B par A a pour but de décomposer B en deux parties, Vune, le produit de A par un nombre entier Q, Vautre^ un nombre entier R, moindre que le diviseur.
Les nombres entiers, B, A, Q, R, s'appellent dividendcy diviseur, quotient et reste.
C'est donc dans l'égalité
B = AQ -h R, et dans l'obligation pour R d'être plus petit que A, que
consiste essentiellement la définition de la division de B par A.
Le nombre Q s'appelle aussi le quotient à une unité près de B par A ; il satisfait aux inégalités
AQ<B<A(Q4-i),
qui ont servi à définir l'opération et qui, du reste, se déduisent immédiatement de l'égalité précédente.
Si R = 0, on dit que la division se fait exactement, et on retombe sur l'opération définie antérieurement.
Exemple: On a
ou 36 X 6 < 221 < 36 X 7 ;
6 est donc le quotient à une unité près de 221 par 36. En
outre
5 est le reste de cette division.
Il résulte de la définition précédente que, si Ton considère toutes les divisions possibles par A, elles ne donneront comme restes que les nombres
Tous les nombres qui donnent pour reste 0 sont compris dans la forme kk , k étant un nombre entier quelconque; ceux qui donnent pour reste 1, sont compris dans la forme 1 4- M ; ceux qui donnent pour reste 2, sont compris dans la forme 2 + M ; etc.
Donc tous les nombres entiers sont sûrement compris dans les formes
kk, 14-A:A, 2 4-Â:A, , k — i^kk.
k prenant successivement toutes les valeurs entières,
De plus, tous ces nombres sont évidemment distincts •
êi OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES ENTIERS
par conséquent les formes signalées donnent tous les nombres entiers, chacun une seule fois.
Les nombres 0, 1, 2, 3, , A — 1 s'appellent restes
relatifs au diviseur A ou au module A.
Pour qu'il y ait lieu de faire la division de B par A, il faut que B soit plus grand que A. Si B < A, le quotient est 0 et le reste est B, car on a
