Cas, — Le diviseur et le quotient ont chacun un seul
chiffre.
Il suffit alors de connaître la table de multiplication pour avoir le quotient et le reste ; car on découvrira de suite quel est le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende.
Exemples : Soit à diviser 56 par 8; on a 8 < 56 < 80 ; donc le quotient est inférieur à 10 et nous sommes dans le cîis signalé. Nous savons, d'ailleurs, que 7 fois 8 font 56 ; par conséquent le quotient est 7 et la division se fait exactement.
Soit à diviser 61 par 8 ; on a
le quotient est donc inférieur à 10 et nous sommes encore dans le cas signalé. Nous voyons de suite que 7 fois 8 ou 56 est le plus grand multiple de 8 contenu dans 61; le quotient est donc 7 et le reste 5.
51. 2"* Cas. — Le dim$eure9l quelconque y mais le quotient n'a qu*un chiffre,
"Sons Utoos le raisonnement sur un exemple numérique, sans rien supposer d*ailleurs de particulier aux deux nombres employés.
Soit à diviser 5489 par 756 ; nous remarquons que 5489 est compris entre 756 et dix fois 756 ou 7560 ; donc le quotient est compris entre un et 10 et n'a qu'un chiffre ; nous sommes dans le cas signalé. Pour trouver le quotient, il suffit d'essayer successivement les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jusqu'à ce qu'on en trouve un qui, multiplié par le diviseur, donne un nombre plus petit que 5489 et différent de celui-ci de moins de 756. Le quotient actuel est 7 et le reste est 197. Pour limiter le nombre des essais, on raisonne de la façon suivante : les 54 centaines du dividende contiennent d'abord le produit des 7 centaines du diviseur par le quotient, plus les centaines qui proviennent de la multiplication par le quotient de ce qui reste au diviseur c'est-à-dire 56, plus les centaines du reste ; en d'autres termes, et pour abréger, nous dirons que les 54 centaines du dividende contiennent le produit par le quotient des 7 centaines du diviseur, plus d'autres centaines. Si donc on divise 54 par 7, on aura le quotient ou un nombre trop fort ; on essaiera ce nombre, ou bien 9, si le nombre trouvé est plus grand que 9, car on sait que le quotient ne dépasse pas 9 : cet essai se fera en multipliant le diviseur par le chiffre trouvé ou par 9 et en retranchant le produit obtenu du dividende ; si
la soustraction est possible, c'est que le chiffre employé convient; sinon, on le diminue de 1 et on recommence l'essai; si cet essai réussit, le nouveau chiffre est le quotient, sinon on le diminue de nouveau de i, et on recommence l'essai ; et ainsi de suite. Généralement, un ou deux essais suffisent ; quelquefois il en faudra davantage. Dans l'exemple actuel, 54 divisé par 7, donne pour quotient 7, et 7 convient ; il n'y a donc aucun essai infructueux. L'opération se dispose ainsi :
Dividende 5489
756 diviseur 7 quotient.
Reste 197
On écrit d'abord le dividende ; à droite de ce nombre, on trace une barre verticale et on écrit à droite de cette barrev sur la même ligne que le dividende, le diviseur ; au-dessous du diviseur, on trace une barre horizontale et, audessous de cette barre, on écrit le quotient ; quant au produit du diviseur par le quotient ou par le chiffre essayé, on le met au-dessous du dividende et on le retranche de ce nombre.
Pour abréger, on fait généralement la multiplication et la soustraction de chaque essai en même temps ; l'opération pratique ne contient alors que quatre nombres, le dividende et au-dessous le reste, à droite, le diviseur et audessous le quotient. L'opération simplifiée est alors
Dividende 5489 Reste 197
756 diviseur 7 quotient.
Pour lire cette opération on dit : 54 contient 7, 7 fois ; 7 fois 6, 42, ôté de 49, reste 7 et je retiens 4 ; 7 fois 5, 35, et 4 de retenue, 39, ôté de 48, reste 9 et je retiens 4 ; 7 fois 7, 49, et 4 de retenue, 53, ôté de 54, reste 1.
Autre exemple : soit à diviser 5287 par 798 : 52 divisé
par 7 donne 7 pour quotient, mais si on essaie 7, on cons* tate que le produit du diviseur par ce nombre ne peut pas se retrancher du dividende ; on en conclut que 7 est trop fort et on essaie 6 ; la soustraction est alors possible, et on a l'opération :
dans laquelle le quotient est 6 et le reste 499.
Il peut arriver qu'en divisant le nombre qui marque dans le dividende les unités de même ordre que celles d'ordre le plus élevé dans le diviseur, on trouve un quotient supérieur à 10. Alors on commence les essais à 9, puisqu'on sait que le quotient est au plus égal à 9 ; si l'essai de 9 ne réussit pas, on le diminue de i, puis, s'il est besoin, d'une nouvelle unité, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'essai effectué réussisse.
Ainsi pour diviser 1385 par 187, on constate d'abord que le quotient est plus petit que 10 ; puis, comme 13 centaines, divisées par une centaine, donnent pour quotient 13, on essaie 9 ; l'essai ne réussissant pas, on essaie 8; ce nombre ne convient pas davantage ; alors on essaie 7 et on constate que ce nombre convient ; l'opération est :
le quotient est donc 7 et le reste 76.
j Règle. — Pour diviser un nombre B par un nombre A, inférieur à B, on cherche d'abord si le quotient est plus petit ou \plus grand que 10. Supposons-le plus petit que 10. Alors on écrit le dividende et le diviseur sur la même ligne horizontale, le diviseur à droite du dividende^ et on les sépare par une barre verticale; on trace en outre une barre horizontale au-dessous du diviseur. Cela fait, on sépare à gauche du dividende le njombre qui représente les unités de
AMTHM.^HUMB. ^
plus haut rang dans le diviseur, et on divise ce nombre par le dernier chiffre à gauche du diviseur. Si le quotient trouvé ne dépasse pas 40, on le garde pour en faire l'essai; sinon^ on essaiera 9. L'essai de ce chiffre se fait en multipliant le diviseur par ce chiffre lui-même^ et en retranchant le produit du dividende; si la soustraction est possible , le chiffre employé est le quotient, le reste trouvé est le reste de l'opération et celle-ci est terminée; si la soustraction est impossible, on diminue le chiffre essayé d'une unité, et on essaie le nouveau chiffre; si cet essai réussit, l'opération est terminée ; sinon on diminue encore le chiffre essayé d^une unité et on continue ainsi jusqu'à ce que la soustraction soit possible. Le dernier chiffre essayé est le quotient, et le reste de la soustraction est le reste de lapé' ration elle-même.
Avec un peu d'habitude, on trouve presque immédiatement le quotient exact dans chaque cas, et Ton évite la plupart des essais infructueux.
52. 3™« Cas. — Division d'un nombre quelconque par un nombre quelconque.
Nous allons faire le raisonnement relatif à ce cas sur un exemple numérique, tout en ne supposant, bien entendu, rien de particulier aux nombres employés.
Proposons-nous de diviser 2349608 par 4725. Nous remarquons que le dividende est compris entre 100 fois et 1000 fois le diviseur, et que, par conséquent, le quotient est compris entre 100 et 1000 ; le quotient contient donc 3 chiffres ; il se compose d'unités, de dizaines et de centaines ; mais, pour ce qui va suivre, il nous suffira de le diviser simplement en unités et en dizaines : c'est ainsi, par exemple, que nous dirons que, dans le nombre 4725, il y a 5 unités et 472 dizaines. Nous allons démontrer maintenant que le nombre des dizaines du quotient est juste égal au quotient à une unité près du nombre des dizaines du dividende par le diviseur.
Pour parvenir à ce résultat, désignons par q le quotient à une unité près du nombre 234960, qui représente le nombre des dizaines du dividende, par 4725 ; nous aurons, d'après la définition du quotient à une unité près,
si nous multiplions par 10 les trois nombres qui figurent dans ces inégalités, leurs sens ne seront pas altérés, et nous aurons
4725 X iOç < 2349600 < 4725 X i0(g 4- i).
Or le dividende est plus grand que 2349600 ; donc il est supérieur au produit 4725 X iOy ; par conséquent le quotient total est au moins égal à i{Sq où à 7 dizaines. D'autre part, 4725 X(<?-f-l) est au moins égal à 234961 ; par conséquent, 4725 X 10(74-1) n'est pas moindre que 2349610 ; et comme ce dernier nombre est supérieur au dividende, nous avons
il résulte de cette inégalité que le quotient total est inférieur à 10(9 4* 1) ou à 9 + 1 dizaines. En résumé, nous venons de voir que le quotient est au moins égal à q dizaines et qu'il est moindre que 9 H- 1 dizaines ; il contient donc exactement 9 dizaines et peut-être des unités. Nous aurons donc le nombre des dizaines du quotient en prenant le quotient à une unité près de 234960 par 4725.
Ce nouveau quotient est lui-même supérieur à 10 ; par un raisonnement en tout semblable au précédent, nous montrerions qu'on obtient les dizaines de ce nouveau quotient en cherchant le quotient à une unité près du nombre des dizaines du nouveau dividende par le diviseur ; et ainsi de suite. Dans le cas actuel, le quotient de 23496 par 4725 est plus petit que 10 ; il ne contient qu'un chiffre, et il n'y a pas à aller plus loin.
Le quotient de 23496 par 4725 est égal à 4 ; 4 est donc
le nombre des dizaines de dizaines, c'est-à-dire des centaines du quotient total ; le produit du diviseur 4725 par 4 centaines est 18900 centaines qui, retranché des centaines du dividende, 23496, donne pour reste 4596 centaines ;'il reste donc au dividende 459608 ; ce nombre renferme le produit du diviseur par ce qui reste à trouver au quotient, plus le reste. On voit donc que la partie restante du quoliont est le quotient à une unité près du nombre 459608 pai- le diviseur, 4725 ; le nombre des dizaines de cette dernière partie, c'est-à-dire le nombre des dizaines du quotient total, s'obtiendra en divisant 45960 par 4725; le quotient est 9 et le reste 3435 dizaines ; le second reste est donc 3435B et ce nombre renferme le produit du diviseur par les unités du quotient, plus le reste. Donc le quotient à unu unité près du second reste, 34358, par le diviseur est le chiffre des unités du quotient ; ce chiffre est 7 et le reste 1283. Le quotient total est donc 497 et le reste de ropération, 1283.
On dispose l'opération d'une manière analogue à celle qui a été employée dans le cas précédent : on écrit le diviseur à la droite du dividende, et on les sépare par une barre verticale ; au-dessous du diviseur on trace une barre horizontale^ et au-dessous de cette barre on place le quotient; quant aux divers produits du diviseur par les chiffres obtenus successivement au quotient, on les écrit au-dessous du lividende, en tenant compte de l'ordre des unités qu'ils représentent, et en écrivant, à chaque fois, les unités de même ordre les unes au-dessous des autres ; chacun d'eux doit être retranché du dividende partiel que Ton vient d'employer, et ce qui reste non employé de ce dividende doit être écrit à droite de la différence ainsi obtenue. Voici l'opération :
Dividende
diviseur quotient.
/•» reste
2» reste Reste
Pour éviter les erreurs, on sépare à chaque fois, par une virgule ou un point, à la gauche du dividende employé, le nombre que Ton divise à ce moment par le diviseur, pour obtenir un chiffre au quotient.
On peut simplifier l'opération en effectuant, à chaque fois, en môme temps que la multiplication du diviseur par le chiffre trouvé au quotient, la différence entre ce produit et le dividende employé : de cette façon on n'écrit à gauche de la barre verticale que le dividende et les divers restes obtenus.
Il est inutile, en outre, d'ajouter, à chaque fois, tous les chiffres non utilisés du dividende : on se borne à abaisser, à droite du reste que l'on vient d'obtenir, le premier des chiffres non utilisés du dividende ; on obtient ainsi le dividende partiel utile ; si ce dividende partiel se trouve être inférieur au diviseur, il donne pour quotient 0, le chiffre correspondant du quotient est 0, et ce dividende est luimême le reste suivant; il suffira donc d'abaisser un nouveau chiffre du dividende pour obtenir un nouveau dividende partiel, et, par suite, le chiffre suivant du quotient. Enfin les essais relatifs à chaque chiffre du quotient se font de tête, et l'opération ainsi simplifiée se dispose de la manière suivante :
Dividende 23496.08
Dividendes .partiels
,\ 343 Do
Reste 12 83
4725 diviseur
497 quotient.
Règle. — Pour diviser un nombre quelconque^ B, par un nombre quelconque aussiy A, on sépare à gauche du dividende autant de chiffres quHl en faut pour avoir un nombre supérieur au diviseur^ et le contenant moins de dix fois ; le quotient de ce nombre par le diviseur est le premier chiffre du quotient ; on retranche du dividende partiel ainsi adopté le produit du diviseur par le premier chiffre du quotient^ et^ à la droite de ce reste ^ on abaisse le premier chiffre non employé du dividende. On a ainsi un second dividende partiel qui^ divisé par le diviseur^ donne le second chiffre du quotient ; on retranche de ce second dividende le produit du diviseur par le second chiffre du quotient^ et on abaisse^ à droite du reste, le chiffre suivant du dividende; on a ainsi un troisième dividende partiel, qui donnera le troisième chiffre du quotient. Et ainsi de suite, jusqu^à ce que tous les chiffres du dividende ayant été abaissés successivement y on obtienne un reste inférieur au diviseur, Lopéi^ation est alors terminée, et le dernier reste obtenu est le reste de l'opération elle-même.
Remarque I. — Lorsque le nombre des chiffres du quotient est grand, on abrège l'opération en formant à l'avance le tableau des multiples du diviseur par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; chacune des divisions partielles se fait alors immédiatement, à la simple inspection de ce tableau, et sans qu'il y ait d'essai infructueux ; il suffit de voir quel est le plus grand multiple du diviseur contenu dans le dividende partiel employé ; le quotient est alors le chiffre qui a donné ce multiple ; quant au reste partiel qui doit conduiriB au dividende suivant, on l'obtient en prenant l'excès du dividende employé sur le plus grand multiple du diviseur qu'il contient.
Exemple : Soit à diviser 509108743569 par 25743. Nous avons disposé l'opération conmie précédemment; seulement nous avons mis à droite le tableau des neuf premiers multiples du diviseur.
Remarque IL — Lorsque le diviseur û*a qu'un seul chiffre, on peut se dispenser de tout calcul intermédiaire, et écrire de suite le quotient, sans écrire les dividendes partiels, chacun d'eux étant plus petit que 100 et se retenant sans effort :
Exemple : Soit h diviser 53096 par 8 ; on dit le 8"' de 53 est 6, il reste 5 ; le 8"^« de 50 est 6, il reste 2 ; le 8"« de 29 est 3, il reste 5 ; le 8™* de 56 est 7. L'opération se fait donc exactement et le quotient est 6637.
53. Preuve de la division. — Pour vérifier une division, il suffit de constater que le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient, plus le reste. A cet effet, on multiplie le diviseur par le quotient ou inversement, et, à ce résultat, on ajoute le reste. Ainsi, dans l'exemple précédent, on multiplie 19776589 par 25743, et on a :
509108730627; h ce résultat, on ajoute le reste, 12942, et on a Topération
suivante
Comme nous retrouvons exactement le dividende, nous en concluons, qu'il y a de fortes présomptions pour que l'opération soit exacte.
54, Propriétés simples relatives à la division.
I "" Pour trouver le reste de la division par A d'une somme de plusieurs nombres Bj, Bg ,..., B^, on fait la somme des restes fjue donnent ces divers nombres, et on prend le reste que donne ceitti somme, divisée par A.
l/après la définition de la division avec reste, tout iiDûibre B, divisé par A, donne une égalité de la forme
