B = AQ + R, (R < A

n désignant le quotient et R le reste ; Q peut être nul.

Nous avons donc, dans le cas actuel, les égalités suivantes :

B, = AQ, + Ri (R, < A),

Bj = AQ, -h R2

Nous savons

Bn = AQ„ 4- Rn (Rn < A).

d'ailleurs que Ton peut ajouter plusieurs

égalités membre à membre, et écrire dans mie somme les diverses parties dans xm ordre quelconque ; nous pouvons donc écrire

B,4-B,4-....+B„=AQ,+AQ,-f-....H-AQn-HRi-hR,-h....-l-Rn.

Si nous divisons maintenant la somme Rj -h R, 4- h R»

par A, nous pourrons remplacer cette somme par AQn^t-i-R, R étant plus petit que A, et nous aurons

B,-hB,4-....-f-B„=AQ,-HAQ,H-....-f-AQ„4-AQ„+i-hR.

Mettons A en facteur dans tous les termes du second membre qui le contiennent, nous obtiendrons régalité définitive

B,4-B,+....H-Bn = A(Q,-+-Q,+....-hQ,Hi)-»-R; (R < A). Nous voyons donc que Qi + Q, -h .... -h Qn+i est le quotient et R le reste de la division de la somme Bj -h B, -H .... H- B» par A. Or R est aussi le reste de la division de Rj -f- R, 4- .... -H R» par A. La proposition que nous avions en vue est donc établie.

Conséquences. — Si plusieurs nombres B|, B, ,..., B^ sont exactement divisibles par un nombre A, leur somme est divisible exactement par A.

En effet, chacun des restes R|, R,, ...., Rn est nul, donc leur somme est nulle, et,, par suite, le reste de la division par A de cette somme est nul. Autrement :

Chacun des nombres B,, B„ , B» peut être

décomposé en groupes de A unités, puisqu'ils sont tous divisibles {*) par A, sans qu'il reste aucuhe unité non employée. Donc leur somme, que Ton obtient en réunissant tous les groupes en un seul, sera décomposée en groupes de A unités, sans qu'il reste aucune unité non employée, et par conséquent cette somme est divisible par A.

(*) On dit qu'un nombre est divisible par un autre, lorsqu'il le contient un nombre exact de fois.

SS Si Von ajoute à un nombre quelconque B un multiple de A,

le reste de la division par A n'est pas altéré.

Car soit . B = AQ H- R (R < A)

l'égalité qui provient de la division de B par A ; si Ton considère un multiple de A, Bj = AQi, et que Ton ajoute cette égalité à la précédente, membre à membre, on aura

Q H- Qi est donc le quotient par A de B -h Bi et R le

reste.

^* Si Ton retranche d* un nombre Bj un nombre Bg, pluspetit que lui, le reste de la division de B^ — Bg par A s'obtient en prenant la différence des restes relatifs à Bj et Bj, quand le reste de Bj est plus grand que celui de Bj/ on V obtient en ajoutant au reste de B^ le complément (*) à k du reste de Bj, quand celui-ci est plus grand que le reste rfe B^.

En effet, en divisant B^ et Bg par A, nous avons les égalités

B, = AQ, -1- R,, (Ri < A)

B2 = AQ2-HRr, (R2<A)

Le nombre AQj ne peut pas dépasser AQi, car le plus grand multiple de A contenu dans Bj est au plus égal au plus grand multiple de A contenu dans B^, puisque Bj^Bi. Si donc Rg est aussi plus petit que Ri, nous pouvons retrancher chaque partie de Bg de la partie correspondante dans Bi. En procédant ainsi, nous aurons retranché Bj de Bi, car nous pouvons décomposer le nombre Bi en deux groupes, Tun, contenant les unités de AQi, l'autre les unités de Ri, et faire de même pour Ba, le décomposer en deux groupes, contenant, l'un, les unités de AQa, l'autre, les unités de Rg ; il est clair alors qu'en enlevant les unités du groupe AQg de celles du groupe AQi,

(*> Lorsque R est plus petit que A, on appelle complément à A du nombre R, le nombre qui manque à R pour valoir A, c'est-à-dire A — R.

puis les onités de R, de celles de R|, on aura enlevé au

nombre B^ toutes les unités du nombre B,. Nous avons

donc

Or Ri et R, étant tous deux plus petits que A, leur différence est plus petite que A ; donc R| — R, est bien le reste de la division de Bi — B, par A^ et la première partie est établie.

Supposons maintenant R, > R^. Dans le cas actuel AQa < AQi, sans quoi B, serait plus grand que B^ ; donc Q2 < Qi — A et Q, H- i < Qi- On peut donc retrancher du groupe AQt le groupe A(Q, 4- i); mais en procédant ainsi, on a retranché de AQ^, A unités en trop, il faut donc les ajouter ensuite pour que rien ne soit changé; ajoutonsles au groupe R| ; nous pourrons alors soustraire R, de A -H Rj, ou R, de A, et nous aurons Tégalité suivante :

Bi — B, = A(Q, — Q, — i) 4- A — R, -h R,.

Gomme A — R, + R^ est inférieur à A, puisque R, est plus grand que Rj, on voit que ce nombre est le reste de la division de Bi — Bj par A. Or ce nombre est la somme de Ri et du complément à A de R,, A — R2 ; donc la seconde partie de la proposition est établie.

Conséquences. — Si deux nombres sont divisibles par un nombre A, leur différence est divisible par A.

Car si Bj et B2 sont tous deux divisibles par A, les restes sont nuls et, par suite, le reste de la difTérence est aussi nul, d'après ce qui précède. Autrement :

Si Bi et 63 sont tous deux exactement décomposables en groupes de A unités, et que Ton enlève de B, les unités de Bj, il restera un certain nombre de groupes de A unités, et, par conséquent, la différence B^ — B, est divisible par A.

Si on retranche d'un nombre B^ un multiple de A, le reste de la division par A n^est pas altéré.

Car si l'on a B^ = AQ^ -+- Ri (R^ < A) et B, = AQ„ le second reste est nul, et par conséquent le reste de la différence Bj — Bj est égal à R^ — 0 ou à R, ; donc le reste de B^ — Bj est le même que celui de B^.

La théorie que nous avons faite de l'opération, dans le troisième cas, s'appuie sur cette propriété.

La condition nécessaire et suffisante pour que la différence de deux nombres soit divisible par A, est que leurs restes relatifs à A soient égaux.

Soient Bi et Bg deux nombres tels que Bi>Bj, comme dans tout ce qui précède. Si on les divise par A, on a Bi = AQi-4-Ri et B, = AQj-4-Rj, avec Ri<A, R,<A.

Si les restes sont différents, le reste de B^ — Bj est Rj — Ra ou A — Rg + Rj, suivant que Ri > Rg ou Ri < Rs. Ce reste n'est donc pas nul.

Si les restes sont égaux, on a

Bt-B. = A(Qi-Q,),

et la division se fait exactement.

Exemples: Les nombres 428, 381, 357, 217, divisés par 35, donnent pour restes 8, 31, 7, 7. Donc la somme

donne pour reste le même reste que la somme

ce reste est 18.

Ladififérence 428 — 357 = 71 donne pour reste 8—7 = 1. La différence 428 — 381 = 47 donne pour reste

La différence 357 — 217 = 140 est divisible par 35.