CHAPITRE VI
DiViSIBiLITÉ
59. Tout nombre A qui divise exactement un nombre B se nomme un diviseur de B.
Un diviseur commun h. plusieurs nombres est un nombre qui les divise tous exactement.
Nous avons vu que si un nombre A divise un nombre B, il divise tout multiple de B : la démonstration de cette propriété est d'ailleurs évidente.
Nous avons vu, en outre, que tout diviseur commun à plusieurs nombres est un diviseur de leur somme, que tout diviseur commun à deux nombres est diviseur de leur différence.
Un diviseur A de B s'appelle quelquefois un sous-multiple de B ; B est un multiple de A.
60. Caractère de divisibilité par 2. — Les nombres divisibles par 2 s'appellent nombres pairs ; les autres sont les nombres impairs.
On obtient la suite des nombres pairs en partant de- 0 et en ajoutant 2 à chaque fois. Ce sont donc les nombres que Ton rencontre de 2 en 2 dans la suite naturelle des nombres entiers, en partant de 0. Le nombre 0 est divisible par un nombre entier quelconque A ; car on a
0 = AXO-hO.
Nous pourrons donc dire que 0 est un nombre pair, et la suite des nombres pairs est
9i DIVISIBILITE
la suite des nombres impairs est
On appelle chiffres pairs ceux qui représentent des nombres divisibles par 2 ;.ce sont :
2, 4, 6, et 8 ; on peut y joindre 0.
Théorèmb. — Un nombre est ou n* est pas divisible par 2 suivant quHl est terminé par un chiffre pair ou non. ■
En effet, tout nombre entier peut se diviser en deux parties : Tune contenant toutes les dizaines du nombre, et l'autre, les unités. Or le nombre 10 étant divisible par 2, tout nombre exact de dizaines est divisible par 2 ; par conséquent la première partie est divisible par 2. Désignons alors par a le chiffre des unités du nombre donné, A ; nous aurons
A = mult. 2 + a = 2w -1- a, m étant un certain nombre entier. D'après la première proposition du n® 54, il n'y a plus qu'à diviser a par 2 pour avoir le reste de l'opération ; si donc a est pair, la division se fait exactement ; sinon le reste est égal à 1.
Exemples : 2168 est divisible par 2 et 2451 donne pour reste 1.
61. Caractère de divisibilité par 5. — Théorème. — Un nombre est ou nest pas divisible par 5, suivant quHl est terminé soit par 0 ou 5, soit par tout autre chiffre. Le reste de la division d^vn nombre par 8 s*obtient en divisant le chiffre des unités par 5.
La démonstration est absolument semblable à la précédente, et nous ne jugeons pas utile de la faire.
Les multiples de 5 sont
Exemples : 135 est divisible par 5, 137 divisé par 5 donne pour reste 2,. 103 donne pour reste 3.
62. Caractère de divisibilité par 4 ou par 25. — Théorème. — Un nombre est ou n^est pas divisible par 4 ou par 25, suivant que la partie formée par les deux derniers chiffres à droite est ou n'est pas divisible par 4 ou par 25.
Le reste s^obtienty dans tous les caSf en divisant cette partie du nombre par 4 ou par 25.
La démonstration est semblable à celle que nous avons déjà faite au n® 60. Nous dirons ici : tout nombre peut se décomposer en deux parties, Tune contenant toutes les centaines du nombre, Tautrc, les dizaines et les unités. Or, le nombre 100 est exactement divisible par 4 et par 25 ; donc tout nombre exact de centaines forme un nombre divisible exactement par 4 et par 25. Désignons alors le nombre qui contient les dizaines et les unités de A par a ; nous aurons, suivant le cas,
A = mult. 4-4-a = 4w-+-a, A = malt. 25-4-a = 25n-+-fl, m et n désignant certains nombres entiers ; nous aurons donc le reste de la division, en divisant a par 4 ou par
Exemples : 436 est divisible par 4, car 36 est un multiple de 4 ; 525 est divisible par 25, pour une raison analogue ; 441 divisé par 4 donne le même reste que 41, c'est-àdire 1 ; le même nombre divisé par 25 donne pour reste 16.
63. Caractère de divisibilité par 8 ou par 125. — Théorème. — Un nombre est ou n'est pas divisible par 8 ou par 425, suivant que le nombre formé par les trois derniers chiffres à droite est ou n'est pas divisible par 8 ou par 125.
Le reste s'obtient^ dans tous les caSy en divisant cette dernière partie à droite par 8 ou par 125.
La démonstration est absolument semblable à la précédente et nous ne la ferons pas.
Exemples : 164096 est divisible par 8, 164500 est divisi-
;98 DIVISIBILITE
ble par 125 ; 164101, divisé par 8, donne le môme reste que 101, c'est-à-dire 5 ; divisé par 125, il donne pour reste 101.
64. Caractère de divisibilité par 3 ou par 9. — Théobèmb. — Le reste de la division d*un nombre par 3 ou par 9 s'obtient en divisant par 3 ou par 9 la somme de ses chiffres. De régalité
10 = mult. 3 + i ou 10 = mult. 9 4- 1, que Ton peut écrire
10 = 3X3-hi ou 10 = 9X14-1, on déduit immédiatement, en multipliant les deux membres par 10, que 100 est aussi un multiple de 3 ou de 9 augmenté de 1. On aura donc
100 = 3m + l et 100 = 9n+l,
m et n désignant ici les entiers 33 et 11. En multipliant les deux membres de ces égalités par 10, on aura
1000 = 3xlO/w + 10 et 1000 = 9X10n-M0;
on voit donc que 1000 est aussi un multiple de 3 ou de 9 augmenté de 1 ; et ainsi de suite : d'une manière générale, les nombres représentés par les unités des divers ordres sont tous des multiples de 3 ou de 9 augmentés de 1.
Si donc on considère un nombre composé exactement de A unités d'un certain ordre, ce nombre sera un multiple de 3 ou de 9, augmenté de A. Il en résulte donc, qu'en décomposant un nombre quelconque en ses unités des divers ordres, on obtiendra un multiple de 3 ou de 9, augmenté de la somme des nombres représentant ces diverses unités; en d'autres termes, un nombre est un multiple de 3 ou de 9, augmenté de la somme de ses chiffres. Donc en divisant cette somme par 3 ou par 9, on aura le reste relatif à 3 ou à 9.
Prenons pour exemple le nombre 786845 ; nous avons vu au début que
1 = mult 3 -h 1 = mult 9 4- i
10 = mult 3 4-1 = mult 9-f-l
100 = mult 3 + 1 = mult 9 -*- 1
1000 = mult 3 + 1 = mult 9 -h 1
10000 = mult 3 + 1 = mult 9 + 1
100000 = mult 3 + 1 = mult 9 + 1,
dans chacune de ces égalités le mot mult, représentant un certain nombre entier Multiplions les premières égalités par 5, les secondes par 4, les troisièmes par 8, les quatrièmes par 6, les cinquièmes par 8 et les sixièmes par 7, puis ajoutons ; nous aurons
786845 = m. 3 + (5 + 4 + 8 + 6 + 8 + 7) et 786845 = n. 9 + (5-+-4 + 8 + 6 + 8 + 7).
Nous aurons donc le reste relatif à 3 ou à 9 en divisant la somme des chiffres, 5+4+8+6+8+7 ou 38, par 3 ou par 9 ; dans les deux cas, le reste est 2.
Exemples : 1971 est divisible par 3 et par 9 ; 1941 n'est divisible que par 3 et le reste relatif à 9 est 6 ; 1922 n'est divisible ni par 3 ni par 9 ; les restes sont 2 et 5.
65. Caraclëre de divisibilité par 11. — Théorème. — Pour obtenir le reste d'un nombre relatif à 11, on forme la somme des chiffres de rangs impairs, celle des chiffres de rangs pairs; si la première somme surpasse la seconde^ le reste est le même que celui de la différence de ces sommes; si la seconde somme surpasse la première, le reste est le complément à H du reste relatif à cette différence.
Pour se rendre compte de cette propriété, il suffit de remarquer que Ton a
100= il X 9 + 1
ARITHM. HUMB.
en d'autres termes, chacune des unités d'ordre impair est un multiple de il, augmenté de 1, chacune des unités d'ordre pair, un multiple de il, diminué de 1. Les deux premières égalités sont évidentes; la troisième s'obtient en multipliant les deux membres de la seconde par 10 et remplaçant 10 par 11 — 1 ; la quatrième se déduit de la troisième par le même procédé ; et ainsi de suite. Deux mots d'explication sont cependant nécessaires pour comprendre comment on passe de la seconde à la troisième, par exemple ; la seconde, multipliée par 10, nous donne en effet
100 = 10Xii — iO; or pour retrancher 10 d'un nombre, il revient au même de retrancher 11 d'abord et d'ajouter 1 ensuite ; on a ainsi
Cela posé, soit un nombre formé par les chiffres a, 6, c,
d, e, /", que l'on obtient en parcourant le nombre de droite
à gauche. En multipliant les six premières égalités, écrites
antérieurement, respectivement par a, b, c, d, e, /*, on aura:
10ô = mjil — 6
100c = mjll -H c
10000e = wi^ll -h e
100000/'=m5ll— Z';
si l'on ajoute toutes ces égalités, membre à membre, on
obtient, d'un c^té, le nombre donné, N, de l'autre côté, un
multiple de 11, augmenté des chiffres de rangs impairs,
a, c, e, et diminué des chiffres de rangs pairs 6, d, /; on a
donc
N = mil H-(a-i-c-t-e) — [b -^d-^-f).
Or nous pouvons réunir 11m à la somme a'\-c + e\ nous avons alors une différence, dont le reste s'obtient (n* 54, 2*») en prenant la différence des restes des deux parties, si le premier reste surpasse le second, et en prenant
le complément à il de cette différence, si le second reste surpasse le premier. D'ailleurs le reste de la première partie, llm-f-a+c-j-e, est le même que celui de a4-c-4-e; le théorème est donc complètement établi.
Exemples: 876845 a pour somme des chiffres de rangs impairs, 20, et pour somme des chiffres de rangs pairs, 18 ; le premier reste est 9, le second, 7 ; le reste donné par le nombre est donc 9^-7 = 2. Le nombre 786573 donne pour premier reste 5, pour second reste 9 ; le reste du nombre doimé est donc le complément à 11 de 4, c'est-à-dire 7. Enfin le nombre 685476 est divisible par 11.
Remarque. — Nous verrons dans les compléments une manière plus simple d'énoncer le caractère de divisibilité par 11 ; nous donnerons en outre le caractère de divisibilité par 7, et nous généraliserons, autant que cela se peut, les résultats que nous venons d'obtenir, et que nous aurons ainsi étendus.
