B = AQ-^-R (R<A
Puisque A est divisible par G, il en est de même de AQ; car dire que A est divisible par G, c'est dire qu'un groupe rie A objets est exactement décomposable en groupes de G objets ; par conséquent, en répétant Q fois le groupe A, on répétera Q fois chacun des groupes G, et le nouveau groupe sera décomposé en groupes de G objets ; c'est dire que le nombre AQ est divisible par G.
Nous voyons donc que les deux parties de la différence R = B — AQ sont divisibles par G ; nous pouvons donc en conclure, d'après une propriété établie au n** précédent, que cette différence est divisible par G.
Nous avons vu du reste que pour diviser les deux parties d'une somme par G, il suffit de diviser chacune d'elles par G, lorsque cela se peut ; cela résulte de l'égalité
que nous avons établie antérieurement.
On pourrait d'ailleurs démontrer directement cette égalité, en partageant chacun des nombres en groupes de C imités. Rappelons-nous maintenant que pour diviser un produit de facteurs par un nombre G, il suffit de diviser Tun d'eux par C, quand cela se peut, et nous pourrons écrire
B' = A'Q-hR',
B', A' et R' désignant les quotients de B, A et R par G. D'autre part, comme R est plus petit que A, le quotient R' est plus petit que le quotient A', et l'égalité précédente exprime la division de B' par A'. Le quotient est donc Q et le reste R', ce qu'il fallait établir.
Exemple : 108 divisé par 28 donne pour quotient 3 et pour reste 24. Si nous divisons 108 et 28 par 4, qui les divise tous deux exactement, nous pourrons affirmer que 27 divisé par 7 donne pour quotient 3 et pour reste 6, ce qu'il est facile de vérifier directement.
'* 56. Division de deux nombres entiers positifs ou négatifs. — Nous nous placerons exclusivement dans le cas où, abstraction faite des signes du dividende et du diviseur, la division se fait exactement.
Nous désignerons par B le dividende^ par A le diviseur et par G le quotient de leurs valeurs absolues : G est un nombre entier ordinaire, un nombre entier positif.
Nous appellerons toujours quotient d'un nombre B par un nombre A, le nombre, positif ou négatif, qui, multiplié par A, reproduit B. Nous chercherons évidemment ce nombre parmi les seuls nombres que nous connaissions jusqu'ici, les nombres en* tiers positifs et négatifs.
1<> Lorsque B et A sont positifs, nous sommes dans le cas .étudié jusqu'ici ; le quotient est le nombre positif G.
2» Lorsque B est négatif et A positif, le quotient ne peut être positif, car le produit d'un nombre positif par un nombre positif est un nombre positif et ne peut être égal à B. Le quotient actuel est — C, car le produit de A par — G s'obtient en faisant le produit des valeurs absolues A et G, ce qui donne |B|, et en
donnant au résultat le signe — ; on trouve bien ainsi lo nombre négatif B.
3<* Lorsque B est positif et A négatif, le quotient est — G^ car le produit de deux nombres négatifs est positif et égal au produit de leurs valeurs absolues.
4° Enfin, lorsque B et A sont tous deux négatifs, le quotient est C, car le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est un nombre négatif, dont la valeur absolue est égal au produit des deux valeurs absolues.
En résumé, le quotient de deux nombres, positifs ou négatifs^ dont les valeurs absolues se divisent exactement, est positif ou négatif, suivant que les deux nombres ont ou n'ont pas le mêm^ signe ; il a pour valeur absolue le quotient des valeurs absolues^ De là les deux tableaux suivants :
ou = -H
* 57. Quelques propriétés relatives aux sommes algébriques. — Remarque sur les égalités. — Nous avons vu que Ton a, dans tous les cas.
A(Bi+B2 4--
••• -h Bn) = (Bi + Ba H |-Bn)A
= ABi-|-AB2 + .
.' 4- ABn= BjA H- BaA -<-•.+ B„A.
Mais Pégalité
A(Bi + B2 + -
.. H-Bn) = ABi + ABa H h AB„
peut s'énoncer de la manière suivante :
Lorsque les diverses parties d'une somme algébrique sont divisibles par un même nombre, positif ou négatif y on obtient le quotient de cette somme par ce nombre, en divisant chacune des parties de la somme par le nombre en question.
S'il s'agit de diviser deux sommes algébriques l'une par l'autre, lors même que l'opération sur les valeurs de ces sommes se fait exactement, on ne peut qu'indiquer l'opération par le signe habituel de la division. Ainsi — ,.,.„. 7^ indique le quotient
Il -h r -Hlj
delasomme A + B + C + D par E + F + G. Pour se rendre compte de l'utilité des propriétés relatives eut
égalités que nous avons établies dans tout ce qui précède, il suffît de se rappeler que Pégalité A = B exprime que les deux nombres A et B sont identiques, lorsque les opérations qui les donnent sont toutes effectuées. Mais il n*y aurait aucun intérêt à écrire que 7 = 7 ou — 7 = — 7, une pareille égalité n'apprenant rien à celui qui Técrit. Tandis que
7 = 12 — 5 et — 7 = (— 3)X5-h8
indiquent des modes de décomposition des nombres 7 et — 7. Les égalités en arithmétique ont toutes pour but d'indiquer des modes de décomposition des nombres entiers, ou bien d'indiquer quelles sont les combinaisons de nombres qui conduisent au même résultat.
Il est bien évident, d'après ce que nous avons dit, que si l'on ajoute le même nombre, positif ou négatif, à deux nombres égaux, on obtient le même résultat ; que si, de même, on multiplie deux nombres égaux par un même nombre, on a les mêmes produits ; etc. Ce ne sont pas ces propriétés simples relatives aux égalités qui exigent aucune démonstration.
11 suffit pour les concevoir et pour les établir d'avoir étudié à Ta- Tance chacune des opérations de l'arithmétique dont il estfait mention. Ce sont les manières d'effectuer ces opérations sur les transformations diverses d'un nombre donné qui donnent lieu à de véritables propositions.
C'est le point de vue auquel nous nous sommes toujours placé, et que nous garderons dans la suite.
* 58. Systèmes de numération. — Dans le système de représentation des nombres entiers que nous avons étudié au chapitre i, les unités de chaque ordre se groupent dix par dix pour donner des unités de l'ordre immédiatement supérieur ; chaque nombre entier s'évalue en formant tous ces groupes, et en les réunissant entre eux pour former des groupes d'ordres supérieurs, jusqu'à ce que dans chaque ordre il n'y ait plus qu'un nombre de groupes inférieur à 10.
On donne ensuite un nom à chacun des dix premiers nombres, y compris le nopfibre zéro ; on. donne aussi des noms aux unités des divers ordres.
Puis on combine ces noms, d'après une règle déterminée, pour avoir le nom d'un nombre entier quelconque. Quelques noms spéciaux se sont introduits dans le langage, quelques contractions se sont effectuées, et l'on s'est trouvé en possession de noms pour tous les nombres usuels.
La représentation écrite est encore plus simple, puisque les dix symboles, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ont suffi pour écrire tous les nombres.
Le nombre 10, qui est la base de tous les groupements effectués, se nomme la base du système de numération ordinaire, et ce système lui-même se nomme le système décimal.
Au lieu de prendre le nombre 10 pour base de toutes ces combinaisons et de tous ces groupements, on eût pu prendre tout autre nombre entier, par exemple 12. On eût alors réuni toutes les unités d'un nombre donné en groupes de 12, jusqu'à ce qu'il fût resté un nombre d'unités inférieur à 12, puis les nouveaux groupes en groupes de 12, jusqu'à ce que leur nombre fût tombé au-dessous de 12, et ainsi de suite. De cette façon, on eût obtenu les unités du premier ordre, du second ordre, du troisième ordre, etc. 11 eût alors fallu donner des noms aux 12 premiers nombres, y compris zéro, ce qui est fait pratiquement ; puis, des noms aux unités des divers ordres, et un procédé absolument semblable à celui que nous avons employé dans la numération, nous eût alors permis de nommer les nombres entiers. L'usage serait ensuite venu apporter quelques noms particuliers et simplifier les plus usuels.
Exemple : 42, qui contient 3 groupes de 12 unités et 6 unités, eut pu se nommer trois-douze-six.
Nous donnerons à ce système particulier le nom de système duodécimal,
La représentation écrite est encore plus simple que la représentation parlée. Représentons en effet chacun des 12 premiers ri ombres, y compris 0, par un symbole particulier,
tous les nombres pourront alors être écrits, en convenant, comme fH éoédemment, que tout chiffre placé à gauche d'un autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur.
Exemples : 42 s'écrit 36 dans le nouveau système, et 140 s'écrit p8, car 140 contient 11 fois 12, c'est-à-dire ? unités du second ordre, plus 8 unités du premier ordre.
Nous laisserons de côté la représentation parlée des nombres dans le nouveau système; cette représentation n'a pas été faite et est sans intérêt pour nous.
Nous ne nous occuperons que de la représentation écrite, relativement à laquelle nous résoudrons deux problèmes qui sont fondamentaux.
i*' Problème. — Un nombre étant écrit dans le système duodécimal^ écrire ce nombre dans le système décimal.
U nous suffira de savoir évaluer les unités de chaque ordre dans le système décimal, et de regarder un nombre comme étant la somme des nombres représentés par les unités des divers ordres qu'il renferme.
Une unité du second ordre vaut 12 unités ordinaires,
une unité du troisième ordre vaut 12X^2=^^
une unité du quatrième ordre vaut 12 X <^ = ^"^^^
une unité du cinquième ordre vaut 12 X 1728 = 20736
une unité du sixième ordre vaut 12 X 20736 = 248S32
une unité du septième ordre vaut 12 X 248832 = 2985984. . . .
Prenons alors comme exemple le nombre a579p, écrit dans le système duodécimal. Ce nombre vaut a unités du cinquième ordre, plus 5 unités du quatrième, plus 7 unités du troisième, plus 9 unités du second, plus p unités ordinaires, il est donc égal à la somme
si on se rappelle que a = 10 et P = 11, on a de suite
207360+8640 + 1008+ 108 + 11 ou 217127.
2* Problème. — Étant donné un nombre écrit dans le système décimal^ écrire ce nombre dans le système duodécimal.
Soit le nombre 326748, écrit dans le système décimal. Pour avoir, dans le nouveau système, le chiffre des unités, il faut décomposer le nombre donné en groupes de douze unités, et en une partie contenant moins de douze unités; Tensemble des premiers groupes est un nombre divisible par 12, un multiple de 12 ; donc la deuxième partie, c'est-à-dire le chiffre des unilés, est le reste obtenu en divisant le nombre donné par 12. On a ^insi
le chiffre des unités est 0. Le quotient 27229 désigne combien il y a d'unités du second ordre dans le nombre proposé ; si on le décompose en deux parties. Tune, ne contenant que des groupes de douze unités, Taulre, inférieure à 12, cette dernière sera le chiffre des unités du second ordre, et le quotient de la première par 12 sera le nombre des unités du troisième ordre du nombre donné. Ces deux nombres s'obtiendront en divisant 27229 par 12, ce qui donne
le chiffre des unités du second ordre est donc 1 , et le nombre des unités du troisième ordre est 2269. En traitant ce nombre comme les précédents, on a le chiffre des unités du troisième ordre et le nombre des unités du quatrième ordre, et ainsi de suite. Lorsqu'on arrive à un quotient plus petit que \ 2, il nV a pas lieu de le décomposer, et il exprime le chiffre des unilés de Tordre le plus élevé. Toutes ces divisions se réunissent en une seule opération, de la façon suivante :
Le nombre donné s'écrit donc 139140 dans le système duodécimal.
Pour traiter ce second problème, on aurait pu chercher quelle est Tunité d'ordre le plus élevé contenue dans le nombre donné, et combien de fois elle s'y trouve contenue; le chiffre ainsi obtenu au quotient est le chiffre des unités d'ordre le plus élevé dans le nombre choisi. On trouvera de même le chiffre des unités d'ordre le plus élevé qu'il y a dans le reste, et ainsi de suite. On a ainsi les divers chiffres du nombre, dans le système duodécimal, à condition de remplacer par des 0 les chiffres des unités d'ordres qui manquent.
Dans cette nouvelle méthode, les chiffres sont obtenus en parcourant le nombre de gauche à droite, tandis que dans la méthode précédente, le nombre était parcouru de droite à gauche.
11 est bien entendu que Ton entend par chiffre dans cette seconde question, l'un quelconque des symboles 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, p.
Le système duadique (*) est le système de base 2. Les seuls chihres utilisés dans ce système sont 0 et 1 .
Le nombre 100 s'écrit 1100100 dans le système duadique.
On voit par cet exemple l'inconvénient de prendre une base trop peu élevée : il faut un grand nombre de chiffres pour repré* senter les nombres les plus usuels.
(*) On appello aussi ce système lo système binaire, InTersemeot, le système décimal s^appelle aussi parfois système décadique.
EXERCICES
EXERCICES
10 Faire la somme des nombres 127643, 281997, 208, 756, 122:.
2« Un propriétaire paye 512' dMmpôts par an, 468' pour réparation et amortissement de matériel, 1259' pour gages à ses senriteurs, 896' pour assurances diverses et 2857' pour dépenses de toute nature. Combien dépense-t-il par an ?
3<^ Un hameau se compose de cinq maisons. Le propriétaire de la première récolte 983 décalitres de blé par an, en moyenne, 105 de seigle, 748 d'avoine et 124 d*orge ; le propriétaire de la seconde récoite 345 décalitres de blé, 196 d'avoine, 76 de seigle et 97 d'orge ; celui de la troisième 1146 décalitres de blé, 267 de seigle, 892 d'avoine et 113 d'orge ; celui de la quatrième 205 décalitres de blé, 91 de seigle, 126 d'avoine et 55 d'orge ; celui de la cinquième 687 décalitres de blé, 137 de seigle, 549 d'avoine et 103 d*orge. Combien y a-t-il eu de décalitres de blé, de seigle, d'avoine ou d orge récoltés dans ce hameau ?
4» Retrancher de 1827436 la somme des nombres 543895, 201810, 763,842,1177.
5<* Quels sont les compléments à 150000 de 87329, 6236, 111845?
6*' Un négociant doit à diverses personnes 46857', 23741', 12796', 4327' ; d'autre part, on lui doit 1 12725' et 97836'. Combien lui restera-t-il une fois son avoir rentré et ses dettes payées ?
V Une commune dépense en une année 978' pour dépenses courantes, 2197' pour réfection d'une partie du cadastre, 3175' pour réparation de Téglise et du presbytère, 9478' pour construction d'une maison d'école. Ses recettes habituelles sont de 1399'. Combien doit-elle demander à l'emprunt pour faire face à ses engagements?
8° Sachant que le budget des dépenses d'un grand pays se répartit entre les divers ministères, et que le ministère de la guerre dépense 975842327', celui de la marine 324239115', celui des finances, service de la dette compris, 1748111006', celui de l'instruction publique 312136885' et les autres ministères ensemble 248735007' ; sachant d'autre part que les recettes de l'État s'élè-
Tft^nt à 3221625847', trouver la somme qu'il doit demander à Temprunl pour couvrir ses dépenses.
9** Un mètre d'étoffe coûte 16', combien coûtent 7148 mètres?
10* Un commissionnaire fait 32 kilomètres par jour, les jours ordinaires, et 17 kilomètres le dimanche. Combien fait-il de kilomètres en trois semaines ?
il* Un employé gagne 237' par mois ; d'autre part, il gagne 3' chaque jeudi et chaque samedi pour des travaux supplémentaires. Combien gagne-t-il en une année, en supposant qu'il y ait juste 12 mois et 52 semaines dans l'année ?
12* Le jour se partage en 24 heures, l'heure en 60 minutes, la minute en 60 secondes. Combien y a-t-il de secondes en 7 heures 35 minutes 26 secondes ? Combien y a-t-il de secondes en 2 jours ? De minutes en une semaine ? Combien y a-t-il de minutes en m oing dans le mois de février qu'en janvier, une année non bissextile?
ij*» La circonférence se partage en 360* et le degré en 60 minutes. Combien y a-t-il de minutes dans la circonférence entière? Sachant que le degré terrestre vaut 25 lieues, combien y a-t-il de lîeues dans la circonférence de la terre ?
14* Le son parcourt 340 mètres par seconde. En supposant la vitesse de la lumière infinie, à quelle distance se trouve un nuage orageux sachant que 8 secondes se sont écoulées entre un éclair et le bruit du tonnerre ?
ili* Un spéculateur achète 1286 hectares de bois, pour 1452876'; il en vend 337 hectares à 1465' l'hectare, 248 à 1389', et 157 à 1500'; les autres hectares à 1236'. Combien a-t-il gagné?
\ 6* Le côté d'un carré a 37 mètres ; trouver la longueur du con« ttmr, la superficie et le prix de ce terrain, sachant qu'il vaut 17' le mètre carré.
17* Un terrain a la forme d'un rectangle, sa longueur est de 307 mètres, sa largeur 42 mètres. Sachant qu'il a coûté 8756', combien gagne-t-on en le vendant 5' le mètre carré ?
18* Trouver les carrés, les cubes des 9 premiers nombres, puis leurs quatrièmes puissances et leurs sixièmes puissances.
19* La lumière parcourt environ 74500 lieues par seconde; trouver la distance du soleil à la terre, en lieues et en kilomètres, sachant que la lumière met 8 minutes 18 secondes pour venir du soleil à la terre. Trouver la distance d'une étoile à la terre.
EXERCICES 91
sachant que la lumière met une année à parcourir celte distance.
2(y* Un marchand achète 835 hectolitres de vin rouge à 57' rhectolitre et 356 hectolitres à 21' de moins Thectolitre. 11 mélange ces deux espèces de vin et conduit le mélange à Paris ; le transport lui coûte 4^ par hectolitre, les autres frais s'élèvent à 1142'; il perd 7 hectolitres du mélange et vend le reste 66^ Thectolitre. Combien gagne-i-il ?
21» Un négociant achète 6483 mètres de drap pour 97245'. Combien coûte le mètre ? Quelle somme gagne-t-il s*il revend le mètre 17'?
22^ Un commissionnaire fait 35 kilomètres par jour ordinaire et 18 kilomètres le dimanche. Combien met-il de temps pour parcourir 336 kilomètres, sachant qu'il part un dimanche matin, et que le dernier jour il ne fait que les kilomètres restant à faire?
23<^ Partager 972 en deux parties dont la différence soit 46.
24<» Combien y a-t-il de dimanches et de jeudis dans une annéQ ordinaire, sachant que le !•' janvier est un jeudi ?
25<* Une pièce de canon est à 5340 mètres d'un observateur. Combien s*écoule t-il de temps entre Téclair et le bruit du canon, gâchant que le son parcourt 340 mètres par seconde ?
26'' Une fontaine fournit 95 hectolitres d'eau en 5 heures, une seconde fontaine fournit 204 hectolitres d'eau en 12 heures, une troisième 315 hectolitres d'eau en 15 heures. Combien mettrontelles de temps pour remplir ensemble un bassin contenant 5643 hectolitres ?
27» Un enfant a 7 ans, son père a 58 ans. Quel sera l'âge du fils quand l'âge de son père sera quatre fois le sien ?
28® Doux stations  et fi sont à 812 kilomètres l'une de l'autre ; un train part de A pour aller vers fi avec une vitesse de 52 kilomètres à l'heure ; un autre part de B pour aller vers A avec une vitesse de 64 kilomètres à l'heure ; les deux trains partent en même temps. A quelle distance de A se recontreront-ils?
29° Faire voir que dans une division le reste est toujours moindre que la moitié du dividende.
30^^ Connaissant la somme de deux nombres et leur différence, trouver ces deux nombres.
31** Quels sont les nombres qui, divisés par A, donnent un quotient égal au reste ?
32<> Quels sont les nombres, qui, divisés par 9, donnent pour quotient le complément à 9 du reste ?
33<* On écrit la suite naturelle des nombres sans séparer les chiffres, 123456789101112. Quel est le chiffre placé au 51967» rang ? A quel nombre appartient-il ?
34* Écrire le nombre 456723 dans le système ternaire.
^ 35® On peutjprendre les symboles 0, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 5, î, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pour représenter les 49 premiers nombres dans le système de base 20. Trouver la valeur du nombre 965, dans le système décimal. Écrire, au contraire, le nombre 576497 dans le système de base 20.
