CHAPITRE PREMIER

71. On appelle nombre premier tout nombre qui n'est divisible que par lui-même et par le nombre un.

Exemples : 1, 2, 3, 5, 7, ii,

Il résulte de cette définition qu'un nombre premier ne peut avoir avec un autre nombre d'autre diviseur commun que lui-même et le nombre un.

Deux nombres qui n*ont pas d'autre diviseur commun que un, sont dits premiers entre eux ou premiers Vun avec Vautre,

Un nombre premier qui ne divise pas un autre nombre est donc premier avec lui. Ex : 7 et 10 sont premiers entre eux, car le nombre premier 7 ne divise pas 10.

Sauf 2, qui est évidemment un nombre premier, il n'y a pas de nombre premier parmi les nombres pairs, puisque tous ces nombres ont un diviseur, 2, plus petit qu'eux et autre que 1.

Or, tous les nombres impairs sont compris dans la forme 2*-i-l, k étant un nombre entier quelconque ; tous les nombres premiers, sauf 2, sont donc de la forme 2it+lt le nombre entier k pouvant être nul.

Par rapport au module 4 (voir n® 49), tous les nombres

entiers sont compris dans les fopmes Ak, Ak-hi, 4fcH-2, 4A-I-3, k étant un nombre entier quelconque, qui peut être nul. Les nombres de la forme 4A sont tous divisibles par 4, aucun d'eux n*est premier ; les nombres de la forme 4* -h 2 sont divisibles par 2, il n'y a que 2 parmi eux qui soit premier. Donc les nombres premiers, sauf 2, sont compris dans les formes 4*-*- 1 et Ak-h 3.

Or 4A + 3 peut s'écrire 4 (A 4- 1) — 1 ; on peut donc dire que tous les nombres premiers impairs sont compris dans les formes 4A + 1 et 4A — 1 .

On verrait de même que les nombres premiers impairs sont tous compris dans les foi*mes 8A + 1, 8A4-3, 8*4-5 Gt8/« + 7.

!• Un nombre premier ne peut pas diviser un produit de deux facteurs tous deux plus petits que lui.

Soient p un nombre premier, a et 6, deux nombres plus

petits que lui. Le produit aè est certainement compris dans

l'ensemble

or le premier de ces nombres, étant plus petit que p, n'est pas divisible par p ; si donc il y a dans cette suite un premier nombre divisible par p, il est précédé de nombres non divisibles par p. Supposons que cela soit, et désignons par ab ce premier multiple de p ; divisons p par b ; nous aurons

p=mb^b' {b'.<cb),

et, en multipliant les deux membres de cette égalité par a,

nous aurons

ap = mab -+- ab'.

Or, d'après notre hypothèse, ab est un multiple de p ; donc Ifes deux nombres ap et mab sont divisibles par p ; par conséquent leur différence ab' est aussi divisible par

p. Mais, puisque b' est plus petit que 6, le nombre ab* Tient avant ab dans Tensemble des multiples de a que nous avons considérés, et il est contraire à notre hypothèse qu'il y ait dans cet ensemble un multiple de p avant le nombre ab. Ceci pourrait être si ab' était nul, mais il est visible que b' n'est pas nul, puisque p n'est pas divisible par b. Il n'y a donc pas, dans l'ensemble considéré, de nombre divisible par p.

Exemple : Les nombres de la table de Pythagore sont les produits des nombres inférieurs à 10, pris deux k deux. Aucun d'eux n'est divisible par il, ainsi qu'il est facile de s'en assurer.

2® La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre premier divise un produit de deux facteurs, est qu'il divise Pun d'eux.

En effet, soient À, B deux nombres entiers quelconques; divisons ces deux nombres par un nombre premier donné p ; nous aurons

A = fnp-i-a, (a<P)

B = np-+-b. {b<p).

Si nous multiplions ces égalités membre à membre, et si nous nous rappelons que pour former le produit de deux sommes, il faut multiplier chaque partie de Tune par chacune des parties de l'autre et ajouter, nous déduirons de là la nouvelle égalité :

AB = mnp* -H wép -f- nap 4- ab.

Or les trois premiers termes du second membre sont des nombres entiers divisibles par p, leur somme est un multiple de p, et le reste de AB relatif au module p, est le même que le reste de àb. D'autre part, a et b étant tous deux plus petits que p, leur produit ne peut être divisible par p que si l'un des deux est nul, c'est-à-dire si l'un des nombres A et B est divisible par p^

i*2 PROPRIETES DES NOMBRES

Exemples : Le produit 3 X 22 = 66 est divisible par 11 ; le facteur 22 est aussi divisible par 11.

3 X 15 = 45 n'est pas divisible par 11 ; aucun des deux facteurs n'est divisible par 11.

3* La condition nécessaire et suffisante pour qu^un produit de plusieurs facteurs soit divisible par un nombre premier est que l'un de ces facteurs soit divisible par le nombre premier considéré.

Soient A, B, ...., L un certain nombre de facteurs d'un

produit :