N = AB L
et p un nombre premier qui divise le nombre N. Nous pouvons, dans le produit considéré, effectuer le produit de tous les facteurs, sauf A ; nous aurons alors un produit de deux facteurs A(BC L) qui est divisible par p, d'après l'hypothèse faite. Pour qu'il en soit ainsi, le théorème précédent nous apprend qu'il est nécessaire et suffisant que l'un de ces facteurs soit divisible par p ; si c'est le facteur A, le théorème actuel est démontré ; si c'est le second facteur, nous isolerons dans celui-ci le facteur B, et nous aurons à nouveau un produit de deux facteurs, B
et CD L, divisible par p. Pour qu'il en soit ainsi, il est
nécessaire et suffisant que l'un des deux facteurs soit divisible par p ; si c'est B, le théorème actuel est démontré ;
sinon c'est le facteur CD L. Nous décomposerons de
même celui-ci, en mettant à part le facteur C, et ainsi de suite ; nous arriverons ainsi nécessairement à trouver parmi les facteurs donnés un nombre divisible par p.
Conséquence. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre premier divise un produit de facteurs premiers est qu^il soit compris parmi eux.
En effet, d'après le théorèn^e précédent, pour que le produit de facteurs premiers soit divisible par un nombre pre-
mier /), il faut et il suffit que ce nombre divise l'un des facteurs. Mais un nombre premier p ne peut diviser un autre nombre premier que si les deux nombres sont égaux, car le second nombre n'a d'autre diviseur, différent de 1, que lui-môme.
73. Nombres composés. — On appelle nombres composés les nombres qui ne sont pas premiers ; c'est-à-dire les nombres qui admettent des diviseurs plus petits qu'eux et autres que un.
La raison de cette dénomination découle immédiatement du théorème suivant :
Théorème. — Tout nombre non premier est décomposable en un produit de facteurs premiers.
En effet, dire qu'un nombre A n'est pas premier, c'est dire qu'il est divisible par un nombre a plus petit que lui et autre que 1 ; on a donc k = ab, a et b étant tous deux différents de l'unité et moindres que le nombre A. Si les deux nombres a et 6 ne sont pas tous deux premiers, ils peuvent être remplacés par des produits de deux facteurs, comme cela vient d'être constaté pour le nombre A ; on aura donc A = cdef^ si aucun des nombres a et é n'est premier, et A = cdb^ si ^, par exemple, est premier, chacun des nouveaux facteurs étant différent de 1 et moindre que le facteur dont il découle ; et ainsi de suite. On continuera cette opération, tant que tous les facteurs obtenus ne seront pas premiers, et cela arrivera nécessairement ; car si cela n'arrivait jamais, on pourrait prendre pour le nombre A un produit d'un nombre indéfiniment croissant de facteurs tous supérieurs à 1 ; ceci est évidemment absurde, puisqu'un pareil produit finit par être supérieur à n'importe quel nombre. On peut arriver autrement à ce résultat en disant que si l'on n'obtenait jamais des facteurs tous premiers, on aurait, en partant de A, au moins
▲RITHM. HUMB.
114 PROPRIETES DES NOMBRES
une suite illimitée de nombres entiers décroissants et supérieurs à 1 ; cette suite serait formée par des facteurs successifs, tels que chacun divise les précédents, et obtenus Je la façon indiquée. Cela ne peut pas être.
Théorème. — La décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers est unique : deux procédés de calcul différents ne peuvent pas conduire à des résultats distincts.
Supposons, en effet, qu'une première méthode de calcul ait donné pour un nombre entier A la décomposition marquée par Tégalité
A = aiflj flnj
ot qu'un second procédé ait donné la décomposition
A = é,éj bk ;
en écrivant ainsi ces deux décompositions, nous ne supposons pas que les facteurs premiers qui y figurent soient tous distincts : il peut se faire que certains d'entre eux soient répétés plusieurs fois.
Nous avons alors l'égalité
«1^8 «n = bib^ bk.
Il est facile de montrer que les facteurs b sont identiques aux facteurs a et en même nombre qu'eux ; en effet, prenons le facteur bi du second produit, il doit diviser le premier produit ; par conséquent, il est égal (n° 72, 3**) à l'un des facteurs premiers de ce produit, par exemple, à a^ ; si nous supprimons maintenant, dans les deux produits, le facteur premier commun ai, les deux quotients obtenus seront égaux, et nous aurons
«8^8 ^n = b^b^ bk.
Nous démontrerons de même que b^ = a^, par exemple ; nous supprimerons, dans les deux produits, le facteur commun flj, et nous continuerons ainsi jusqu'à ce que tous les facteurs premiers ayant été reconnus égaux dans les deux
membres, il reste 1 = 1. Le théorème est donc parfaitement établi.
Remarque. — Lorsque le môme nombre premier figure plusieurs fois dans une décomposition, on ne récrit qu'une fois, et on se sert de la notation de l'exposant : on donne à ce facteur pour expô3ant le nombre qui indique combien de fois il figure dans le produit. En agissant ainsi, et en désignant par a, é, ...., / des facteurs premiers différents, tout nombre entier pourra se mettre sous la forme
A = a^ftP l\
a, p, , X étant certains nombres entiers.
Une pareille décomposition est caractéristique d'un nombre A, d'après ce que nous venons de voir : tout autre nombre entier donne une décomposition différente.
Les nombres premiers sont donc les éléments constitutifs des nombres. Mais, à ce point de vue, le nombre premier 1 doit être mis k part, car il est à volonté facteur de tout nombre entier autant de fois que Ton veut, et peut être négligé dans rénumération des facteurs premiers d'un nombre donné.
Exemples: 12 == 2»3 ; 108 = 2*3»; 180 = 2»3»5.
