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lorsque tous les couples que l'oii peut former avec deux de ces nombres ont pour plus grand commun diviseur Tunité.
Théorème. — Pour avoir le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on prend le plus grand commun diviseur de deux d'entre eux, puis e plus grand commun diviseur de celui-ci et d'un troisième nombre de Vensemble, puis le plus grand commun diviseur du nouveau résultat et tun quatrième nombre de VensemblCy et ainsi de suitCy jusqu'à ce que Fon ait épuisé tous les nombres de Vensemble. Le dernier résultat obtenu est le plus grand commun diviseur cherché.
Considérons, en effet, quatre nombres a, 6, c, e(, et désignons par 8i le plus grand commun diviseur de a et de 6, par 83 le plus grand commun diviseur de \ et de c et enfin par 8 le plus grand commuiv diviseur de $s et de d. Nous avons vu que les diviseurs communs à a et 6 sont les diviseurs de \ ; nous pouvons donc, au point de vue des diviseurs communs, remplacer a et 6 par Si. Les diviseurs communs à a, 6, c sont les diviseurs communs à Sj et c, c'est-à-dire les diviseurs de 8, ; nous pouvons donc, au point de vue des diviseurs communs, remplacer a, 6, e par 83, et, par suite, remplacer l'ensemble a, 6, c, d par 8j et d ; ces deux-ci ont pour diviseurs communs les diviseurs de leur plus grand commun diviseur, 8 ; donc les diviseurs communs aux quatre nombres a, 6, c, d sont les diviseurs de 8 ; le plus grand d'entre eux est 8 lui-môme.
Le raisonnement est identiquement le même, quand Tensemble donné contient trois ou plus de quatre nombres.
Il résulte encore de notre raisonnement que les diviseurs communs à plusieurs nombres sont les diviseurs de leur plus grand commun diviseur.
Exemples : 60, 84, 180, 156 ont pour plus grand commun diviseur 12.
5, 7, 15, 13 sont premiers dans leur ensemble. 5, 7, 16, 27 sont premiers deux à deux.
Les propositions suivantes sont presque évidentes.
1* Lorsqu'on multiplie plusieurs nombres par un nombre . qvûkonque, leur plus grand commun diviseur est multiplié par ce nombre,
£n eiîet, prenons comme précédemment un ensemble de quatre nombres a, *, c, cl, et désignons par 8i, Sj, 8 les plus grands communs diviseurs de a et 6, de 8i et c, de Si et d ; si nous multiplions tous les nombres par un nombre donné, k^ d*après les propriétés du plus grand commun diviseur de deux nombres, Si, 82 et 8 seront aussi multipliés par k, car les deux nombres qui fournissent Tun d'eux oDt été multipliés par k.
î^" Lorsqu'on divise plusieurs nombres par un de leurs diviseurs communs^ leur plus grand commun diviseur est divisé par ce nombre.
Démonstration complètement analogue à la précédente.
Il résulte de là que les quotients de plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur sont premiers dans leur ememble ; car le nouveau plus grand commun diviseur est égal à 1.
Tandis que les quotients de plusieurs nombres par un autre diviseur commun admettent encore un diviseur commun autre que l'unité, le quotient du plus grand commun diviseur par ie diviseur employé.
Ce qui caractérise le plus grand commun diviseur parmi tous les diviseurs communs à plusieurs nombres donnés, c^esi que les quotients qu'il fournit sont premiers dans leur ensemble.
On peut d'ailleurs démontrer a priori que les quotientô de plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur sont premiers dans leur ensemble. En effet, soient plusieurs nombres a, b, c, rf, dont nous désignons le plus grand commun diviseur par 8; nous aurons
a = a'^, b = b'^, c = (/8, d = rf'8.
Si les quotients a', &', (/, i n*étaient pas premiers dans leur ensemble, ils auraient un diviseur commun $|, et Ton aurait
a' = a\, b' = b\, e' = c'a,, (t = (f«„ «t, par suite,
a = 0*8^8, b = 6'8,8, c = (/S^a, d = d'S.Î. Les nombres proposés auraient donc pour diviseur commun 8^8, qui est plus grand que 8, ce qui est contraire à rhypothôse, puisque 8 est le plus grand commun diviseur.
82. Théorèmes qui découlent de la théorie do plus grand eommun diviseur.
l*' Lorsqu'un nombre divise un produit de deux facteurs et est premier avec Vun d'eux, il divise Vautre,
Soit c un nombre qui divise le produit ab de deux nombres donnés, et supposons c premier avec b ; cela veut dire que c et 6 ont pour plus grand commun diviseur l'unité : donc les produits ac et ab ont pour plus grand commun diviseur le nombre a. D'autre part, le nombre c divise ae dont il est facteur, il divise ab par hypothèse ; donc il divise le plus grand commun diviseur de ces deux nombres, c'està-dire a,
V Lorsqu'un nombre est premier avec tous les facteurs dun produit, sauf un, et qu'il divise ce produit, il divise le facteur avec lequel il n'est pas premier.
En effet, soit un produit aéc..../, dans lequel tous les facteurs, sauf /, sont premiers avec un nombre donné m, qui, en outre, divise le produit considéré; nous allons montrer que m divise /. Pour cela, nous pouvons dire : m divise le produit de a par Je .... /, il est premier avec a, donc il divise 6c..../; de même m divise le produit de b par C....I, il est premier avec b, donc il divise c .... /; et ainsi de suite, jusqu'à ce que nous soyons arrivé à /, qui est donc divisible par m.
136 PROPRIETES DBS NOMBRES
3** Lorsqu'un nombre m est premier avec divers nombres a, b, c, ...., 1, il est premier avec leur produit»
En effet, tout diviseur o de m est premier avec chacun des nombres a, b, c, ....,^1 oar s'il avait un diviseur commun avec Fun d'eux, 6, par exemple, ce diviseur appartenant à m, 6 et m ne seraient pas premiers entre eux. Il résulte donc du théorème précédent que 8 ne peut diviser le produit a, 6, (?.... /. Donc ce produit et le nombre m n'ont aucun diviseur commun.
On peut généraliser ce théorème et démontrer que si deux ensembles de nombres a^, a,, ...., a^ et b|, b,, ...., bk, sont tels que tout nombre du premier ensemble soit premier avec tout nombre du second^ les deux produits SL^dL^. . . .sl^ et b|b2....bk sont premiers entre eux.
Car, d'après le théorème précédent, les nombres 01, a^i .•••, chi sont premiers avec le produit bib^.,..bk; de même celui-ci est premier avec le produit des précédents ; ce qu'il fallait démontrer.
Si l'on suppose maintenant que tous les facteurs a soient égaux entre eux, et qu'il en soit de même des facteurs &, on a la propriété suivante :
Lorsque deux nombres sont premiers entre eux^ toute puissance de Vun est première avec toute puissance de Vautre.
4* Lorsqu'un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit.
Soit c un nombre divisible par deux nombres premiers entre eux, a et b. De la première hypothèse, découle l'égalité c = aqy q étant un certain nombre entier ; de la seconde, découle que b divise aq^ et, comme il est premier avec a\ il divise q\ donc on a ^ = bq\ et, par suite, e = abq\ ce qu'il fallait démontrer.
5* Lorsqu^un nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux^ il est divisible par leur produit.
Désignons par N un nombre divisible exactement par
plusieurs nombres a^b^c^ , /, premiers entre eux deux
à deux. De nos hypothèses résulte que N = aç„ q^ étant un certain nombre entier; nous allons montrer maintenant que ^1 est divisible par tous les nombres donnés, autres que a, par exemple par b ; en effet, b divise N ou ag„ par hypothèse, et est premier avec a, donc il divise g,. Nous aurons donc q^ = bq^^ 9, étant un certain nombre entier ; nous verrons de même que q^ est divisible par tous les nombres qui viennent après b ; nous aurons donc, par exemple, q^ = c^,, et ainsi de suite. Si donc nous désignons par n le nombre des diviseurs donnés, nous aurons les égalités suivantes :
N = aq^, 7, = bq^, q^ = c?,, . . . . , fl;.., = Iqn \ et, par suite, en remplaçant successivement ^i, 9^2,93,... .,?»-i par les valeurs indiquées, nous aurons N = aôc — /jn, qn étant un certain entier. C'est justement ce qu'il fallait démontrer.
Conséquence. — Si un nombre est divisible par plusieurs nombres premiers différents, il est divisible par leur produit.
Les théorèmes suivants sont aussi complètement évidents, d'après ce qui précède.
Tout nombre premier qui divise un produit de facteurs^ divise Vun d'eux.
Tout nombre premier qui divise un produit de facteurs premiers, est égal à Vun d'eux.
Tout nombre premier qui divise une puissance d'un autre nombre, divise ce nombre.
Nous avons vu antérieurement que tout nombre composé N peut se mettre sous la forme
N = aoib^ A,
a, b, — , / désignant les facteurs premiers différents du
nombre N et «, p, , X désignant les exposants de chacun d'eux, c^est-à-dire les nombres de fois qa*ils figurent dans N. Les nombres premiers a, ^, ...., l sont premiers entre eux deux h deux ; il en est donc de même de leurs puissances, a«, 6^, ...., A; par conséquent, il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire et suffisante pour qu*un nombre soit divisible par N, c'est qu'il soit divisible par les divers nombres a«, ôP, ...., A.
Lu caractère de divisibilité relatif au module N se composera donc de la réunion des caractères de divisibilité relatifs aux modules a«, ôP, , A ; mais ceci n'aura lieu
que si Ton se borne à chercher et à énoncer les conditions sous lesquelles un nombre est divisible exactement par N, et non pas si Ton a pour but de trouver le reste de la division d'trn nombre par N.
C*est ainsi que Ton reconnaîtra qu'un nombre est exactement divisible par 6, à ce qu'il est divisible successivement par ^ et par 3 ; de même on reconnaîtra qu'un nombre est divisible par 77, à ce qu'il est divisible successivement par 7 et par il.
