Plus petit oommim multiple de deux nombres. — On
appelle multiple commun à deux nombres, tout nombre qui est exactement divisible par chacun d'eux.
Deux nombres quelconques ont toujours des multiples communs : pour le voir, il n'y a qu'à former leur produit, ou un multiple quelconque de ce produit.
Le plus petit de tous les multiples communs à deux nombres s'appelle \eplus petit multiple commun de ces deux nombres,
Théoeème. — Le plus petit commun multiple de deux nom^ ares est le quotient de leur produit par leur plus grand commun diviseur. Tout multiple commun à deux nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple^ et réciproque^ ment*
Pour démontrer ce théorème, nous allons chercher la forme des multiples communs à deux nombres donnés a et i ; à cet effet, nous désignerons par $ leur plus grand commun diviseur, et par a', b\ les quotients de ces deux nombres par leur plus grand commun diviseur, quotients qui sont, comme Ton sait, premiers entre eux.
Désignons alors par M un multiple commun à a et i ; ce multiple est compris parmi les multiples de a et est de la forme M = aA, A étant un certain nombre entier. Pour que M soit en outre divisible par 6, il faut que aA soit divisible par 6, ou, ce qui est la même chose, que o'SA soit divisible par i'8 ; il faut donc et il suffit que a!K soit divisible par 1/ ; or i' est premier avec a', donc il doit diviser A et cela suffit. On a donc A = mb\ et, en portant cette valeur de A dans M, on a
M = aA = ma6' = -^1 car i'=-f
d'aprôs la notation du n* 47.
Les multiples communs à a et 6 sont donc tous les nombres de la forme H = -r-, m étant un nombre entier
quelconque.
Le plus petit de tous est donc {i = y, et tous les autres sont des multiples de celui-ci. C*est là le théorème que nous voulions démontrer.
Remarque. — Si les deux nombres donnés sont premiers entre eux, leur plus petit commun multiple est leur produit.
Exemples, — Les deux nombres 80712 et 8712 ont pour
plus grand commun diviseur 72, ainsi que nous l'avons vu
antérieuretment ; leur plus petit commun multiple est donc
%a ou 80712X121,
c'est-à-dire 9766152.
Le plus petit commun multiple de 7 et de 11 est 77.
140 FROFRIÉTâS DES NOMBRES
84« Plus petit commun multiple de plosieiirs ncmibres. —
On appelle muiUple commun à plusieurs nombres, tout nombre exactement divisible par chacun d'eux.
Plusieurs nombres donnés ont toujours des multiples communs : pour le voir, il n'y a qu'à former leur produit, ou un multiple quelconque de ce produit.
Le plus petit de tous les multiples communs à plusieurs nombres est leur plus petit commun multiple.
Théorème. — Pour avoir le plus petit commun multiple de plusieurs nombres^ a, b, c, d, , on forme le plus petit commun multiple de di et de h^ {i|, puis le plus petit commun multiple de \i^ et de c, f^, puis le plus petit commun multiple de ^^ et de d.^ (*, ; et ainsi de suite. Le dernier nombre ainsi obtenu est le plus petit commun multiple des nombres donnés.
En effet, les multiples communs h a ei b sont les multiples de (Xi ; on peut donc, au point de vue des multiples communs, remplacer a et 6 par fXi, c'est-à-dire a, 6 et c par fxi et c ; les multiples communs à ceux-ci sont les multiples de jx, ; on peut donc, au point de vue des multiples communs, remplacer a, 6, c par [Xj ; et ainsi de suite. On arrive ainsi à un dernier plus petit commun multiple, fx, dont les multiples sont les multiples communs aux nombres donnés ; par conséquent ce nombre est le plus petit d'entre eux, et le théorème est démontré.
Conséquence. — Les multiples communs à plusieurs nombres sont les multiples du plus petit commun multiple.
Si plusieurs nombres sont premiers entre eux deux à à deux, leur plus petit commun multiple est leur produit.
88. Autre manière d'obtenir le plus petit commun multiple de plusieurs nombres. — Formule de Gauss. !• Si fx est le plus petit commun multiple de plusieurs nomr
bre$ a, b, c, d, les quotients de [i par a, b, c, d sont premiers dans leur ensemble.
Soient a\ b', c', d' ces quotients. On a
|i = aa' = bb' = ce' = cW,
Si a', y, e\ dl avaient un diviseur commun, 8, on aurait
a' = a\ 6' = 6'8, d = ifl, d! = d%
et, par suite,
fx = aa'^ = bb'^ = c(fB = rfrf'8 ;
{I serait donc divisible par 8, et le quotient ^^ plus petit
que {X, serait un multiple commun à a, 6, c, d, ce qui est contraire à Thypothèse.
2*^ Tout multiple commun à plusieurs nombres a, b, c, d, est un multiple du plus petit commun multiple.
Car soient M un multiple quelconque de a, b, c, dy et
fjL le plus petit commun multiple. Divisons M par fx, nous
aurons
M = |x9+hl' (|x'<hl).
Puisque M et {x sont tous deux divisibles exactement par a.byC, rf, il résulte du n*» 55, 7*», que si jt' n'était pas nul, il serait aussi divisible exactement par a, ô, c, rf ; alors {X ne serait pas le plus petit commun multiple, ce qui est contraire à Thypothèse ; donc |x' = 0.
3^ Les quotients d'un multiple quelconque de a, b, c, d autre que le plus petit commun multiple, par ces nombres^ ne sont pas premiers dans leur ensemble ; cette propriété n'a lieu que pour le plus petit commun multiple.
Car si fx désigne le plus petit commun multiple, on a
^ = aa' = bb' = cd = dd',
les nombres a', A', c', d' étant premiers dans leur ensemble ; d'autre part, un multiple quelconque M est égal à 1x7, q étant un entier différent de 1 ; les quotients relatifs à M
sont donc a'q, b'q^ c'q^ d'q ; et Ton voit qu'ils ont pour diviseur conunun q.
4* Si on forme les produits des nombres a, b, c, d trois à trois et que Von désigne par A leur plus grand commun diviseur^ le plus petit commun multiple des quatre nombres est égal à leur produit divisé par A.
En effet, considérons le nombre ; c'est un multiple
bcd acd abd commun à a, ô, c et rf, puisque les quotients — » — > -— »
-—^ sont des nombres entiers ; c'est d'ailleurs le plus
petit de tous les multiples communs, puisque ces quotients sont premiers entre eux (n° 81).
' 86. Calcul des restes obtenus dans la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres, en fonction de ces nombres. — Lorsqu'on cherche le plus grand commun divis^mr de deux nombres a et b, a';> b, on est conduit à effec- Ltier diverees divisions que nous avons indiquées par les égalités (1) :
b = rig^a-hra, (r^ <r^)
Ci}
rk^2 = rk^iÇk -h Tk {rk < rk^^)
rk^i = r/cqit+i.
11 est facile de déduire de là une forme de chacun des restes, dans laquelle a et & seront en évidence. En effet, la première égalité donne ri = a — bqi ; la seconde donne r^ = & — riq^^ et si Ton y remplace ri par la valeur que l'on vient d'écrire, cette exf»ression de rj devient
rj = 6— 58(a— bqi) ou rs= &(H-îiîa) — «?8-
Nous voyons donc que ces deux premiers restes sont, au signe p^^^, de la forme bu — ai?, m et t? étant des nombres entiers po ai tifs.
Nous allons montrer que d'une manière générale on a, pour tin reste quelconque, la forme
i—i)frp = bup'^avp, (*) Up et Vp étant des nombres entiers positifs. *
Nous Tenons de voir que cette loi est yraie pour les deux premiers restes ; si donc, en l'admettant jusqu'à un certain in<âce, nous démontrons qu*elle est vraie pour Tindice suivant, nous Taurons établie dans toute sa généraUté. Admettons donc les deux égalités
(— i)r'*rp^ = bup^ — avp^,
(— l)^r^t = fru^i — avp^u et reportons-nous à la |K division, marquée par la p* égalité (1) ; celle-ci nous donne
ou (— i)Prp = (- iVr^r,^ + (— l)r^^ig, ;
pour avoir (— i)i>r,, il nous suffira donc de multiplier les deux
égalités admises par i et qp et de les ajouter ; nous aurons ainsi
(— ^)^P = H^P^i + ^P^i^p) — «(«i«-8 + Vp-iQp)'
Si donc nous posons
Up=iUp i-^-up^^q„
Vp = Vp^i-{-Vp^qp, nous aurons
{—i)frp = bup'^avp; et il est évident, d'après les valeurs que nous venons de trouver pour Up et vp^ que ces deux nombres sont des entiers positifs^ puisque cela a été admis pour les nombres u et v qui viennent avant ceux-ci. Or nous avons vu que la loi est vraie pour les indices 1 et 2, elle est donc vraie pour Tindice 3, puis pour Tindice 4^ etc.
Nous voyons en outre que chacun des nombres n se déduit de ceux qui viennent avant, en multipliant le précédent par le quotient de la division qui a donné le reste qu'on calcule et en ajoutant à ce produit le nombre u antéprécédent. Les nombres v se déduisent les uns des autres de la même manière. 11 suffît de se reporter aux premiers des nombres u et v, pour voir que Ton peut commencer la suite des u par 1 et ^i, celle des v par 0 et 1 ; le premier quotient à employer pour appliquer la loi de formation précédente est alors ^g, le quotient de la seconde division.
Si nous appliquons le théorème précédent au dernier des restes, rkj nous aurons de même
(— i)*r» = ftMk — ar*,
(*) ( — i)P est mis en facteur pour donner an premier nombre le signe . qnll doit prendre. D'après les règles des signes concernant le produit de plusieurs nombres entiers, positifs et négatifs, (— 1)^ = -4- 1, si p est pair, ( — i)' = — 1, si p est impair, et on a
i44 PROPRIÉTÉS DES NOMBRES
et en modifiant légèrement les notations actuelles nous pourrons énoncer le théorème suivant, qui est très important.
Théorème. — Le plus grand commun diviseur 8 de deux nombres a et b peut toujours se mettre sous la forme ± S = bu — ET,
u et T étant des nombres entiers positifs.
Si on divise les deux membres de cette égalité par 8, ce qui se fera pour le second en divisant successivement a et & par 8, on aura
drl = &'!*— a't), €n riéï^îgnant par a' et b' les quotients des nombres a et b par leur plus grand commun diviseur. Il résulte de cette égalité que les nombres u elv qui figurent dans l'expression du plus grand commun diviseur sont premiers entre eux, qu'il en est de même des quotients a et b\ et des couples a' et i?, b' et u ; car si les nombres de Tun de ces couples avaient un diviseur commun, autre que Tunité, ce diviseur appartiendrait à b'u et a'r, et, par suite, à b'u — a'v, c'est-à-dire à 1, ce qui est impossible.
Les nombres n et Y qui figurent dans l'expression du plus grand commun diviseur sont donc premiers entre eux.
Mais la réciproque n'est pas vraie : il re suffit pas qu'un nombre 8 puisse prendre la forme it 8 = &m — ai?, u et i? étant des entiers premiers entre eux, pour qu'il soit le plus grand commun diviseur entre a et b.
Exemple : 56 X 3 — 32 X 4 = 40 ;
3 et 4 sont premiers entre eux, et cependant 40 n'est pas le plus gi and commun diviseur entre 56 et 32.
Quand les deux nombres a et 6 sont premiers entre eux, on a S ;:= 1 et, par suite,
it 1 = 6w — av,
Rcciproquement, si cette égalité a lieu dans les conditions indiquées antérieurement, a et & sont premiers entre eux ; donc :
La condition nécessaire et suffisante pour que deux nombres a et h soient premiers entre eux, est que V égalité bu — av = zb 1 ait lieu pour certains nombres entiers m et \,
Demandons-nous maintenant si cette égalité &w — au = ± 1, quand elle est possible, peut être satisfaite pour plusieurs couples de nombres entiers u et v. Pour cela, désignons par w^ et i?o la solution (*) qui provient des calculs précédents et par u, v une
{') Équation i égalité dans laquelle figurent des nombres inconnus, a?, y, a;,.,, i|u'iL faut déterminer de façon que Tégalité soit satisfaite.
SoltiUon d'une équation^ système de valeurs que Ton peut attribuer aux îiiconmieâ d'une équation, de façon qu'elle soit vérifiée.
antre solation quelconque, 8*ii y en a; nous aurons à la fois &t# — au = db 1 et di*o — avo = ± 4 ;
nous pourrons d^ailleurs toujours supposer que le signe du second membre est le même dans les deux cas, car si cela n'était pas, comme rien ne nous empêche de supposer u et v négatifs, nous changerions les signes des deux membres de la première égalité. Si nous retranchons alors la seconde de la première, elle devient b(u — Wo) — «(« — «o) = 0, ou
&(u— tio)=a(v — Vo).
Or a divisant le second membre, dont il est facteur, divise aussi le premier, qui est égal au second ; de plus, a est premier avec b, donc il divise u-- u^ et Ton a ti — t«o = a\ij [l étant un nombre entier positif ou négatif quelconque. Si Ton porte cette valeur de u— Uq dans l'égalité précédente, elle nous donne v — v^^ &fA. Par conséquent, s*il y a des solutions, elles sont données par les deux formules
M = «0 •-*- api» tj = t?o + 6fi,
dans lesquelles \i désigne un nombre entier quelconque, position négatif. 11 est facile de voir, du reste, que tous les couples u et V que nous venons de trouver vériflent l'égalité dt< — ai> = rt i , le signe ± étant le signe de la seconde égalité.
Donc régalité envisagée a une infinité de solutions, qui sont déterminées par les formules précédentes.
On peut toujours déterminer fx de façon que u soit inférieur à a, d'après la théorie de la division ; alors le nombre correspondant V est aussi inférieur à d; car on a av = du q= 1, et, comme u est au plus égal à a — 4 , on a
av < &(a — 1) ip 1
\ ou ao < &a— (&dbl);
cette inégalité montre bien que v est aussi plus petit que b, si & > 1 ; mais si & = 1, le plus grand commun diviseur esl égal à 1, et alors on a
-l = &(a-i)-aXi;
dans c« cas t? = ô = l .
Nous aurons complètement élucidé cette question en montrant que cette solution est justement la vsolution t4o, v^, qui découle des opérations qui conduisent au plus grand commun diviseur de a et b.
Nous avons, en effet, a = bq^ + r», et & = riq% -+- r^; si nous portons cette valeur de b dans celle de a, elle devient
« = ?i(^i?i + ^i) -+- rj = rjMj -h rgUi,
ARITHM. HUMB.
Nous démontrerons de même que
a = r2Ms + nwa ;
il n*ya qu'à remplacer dans Pégalité précédente r^ par r^q^-^-vz. Et ainsi de suite jusqu*à
m c[iii montre bien que a est supérieur à uu.
De même, en partant de 6 = r^q^ + r^, on peut écrire cetîe égalité b = rii?2 -j- rat^j puis on obtient h = rjUg + ^3t?a, etc., jusqu'à h = rA it?A + ^&»&i ; donc 6 > t?&.
Or Uk et Va sont justement les nombres qui ont été désignés par Mo et t?o. On voit donc que cette solution est bien la solution plus petite que a et b. Dans toutes les égalités de la forme
(— iyvp =: bup — avp^
il en est de même a fortiori , puisque m* est le plus grand des nombres u, et Vk le plus grand des nombres v.
Exemples : 80712 et 8712 conduisent aux divisions : 80712 = 8712 X 9 H- 2304, 8712 = 2304 X 3 -f- 1800, 2304 = 1800 X 1 + 504, 1800 = 504 X 3 504 = 288 X 1 288 = 216 X 1 216 = 72 X 3
Si donc on désigne par a et 6 les deux nombres 80712 et 8712, on a pour les restes successifs les diverses expressions :
que Ton peut calculer directement, ou en tenant compte de la loi de formation que nous avons donnée pour les u et les v : on commencera alors la suite des m par 1 et 9 et la suite des v par 0 et 1, et le premier quotient employé sera gg = 3. Si on considère de même les nombres a = 73 et 6 = 11,
a la suite des égalités :
et les restes successifs sont :
(— l)M =20& — 3a, Remarque. — Dans le cas où & = i, la seule division qui existe est la division exacte ; il n'y a aucun reste à calculer, les résultats précédents sont inapplicables; mais nous avons vu directement que le plus grand commun diviseur 1 s'écrit dans ce cas
i=a — (a — 1) ou — 1 = a — 1 — a ;
donc b étant égal à 4, on a t4 = a ~ 1, v = 1.
* 87. Usage de Tégalité =b 3 = fru — ai» . — Nous avons vu antérieurement que Ton peut toujours, par des calculs simples, qui dérivent immédiatement de la recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres a et 6, mettre ce nombre $ sous la forme
it 8 = ftw — av, u et V étant des nombres entiers premiers entre eux, et le signe du premier nombre étant + ou — suivant que le nombre total des restes est pair ou impair.
Deux résultats découlent immédiatement de lÀ :
i* Tout diviseur commun à & et h divise le plus grand commun diviseur de ces nombres.
Car il divise évidemment bu — av.
2® Les quotients de deux nombres par leur plus grand commun diviseur sont premiers entre eux.
Car, en appelant a' et b' ces deux quotients, ils satisfont à régalité ±i = b'u — a'v.
Nous pouvons reprendre id une partie des résultats déjà trouvés dans ce qui précède, et en donner d'autres démonstrations.
3* Tout diviseur commun $', à deux nombres a et b, autre que le plus grand commun diviseur $, donne des résultats non premiers entre eux.
Car les deux quotients obtenus sont encore divisibles par ^> qui est un nombre entier (i«).
4® Si on multiplie les detue nombres & et h par un nombre quel" conque k, leur plus grand commun diviseur $ est aussi multiplie par k.
Car les quotients de ha et kb par A$ sont a' et b\ premiers entre eux (2«, 3"). Donc AS est le nouveau plus grand commun diviseur.
5® Si on divise deux nombres a, et h par un de leurs diviseurs communs^ le plus grand commun diviseur est divisé par ce nombre.
Démonstration analogue à la précédente.
6® Si un nombre c divise un produit de deuœ facteurs b, et h et est premier avec Vun d'eux, il divise Vautre,
Supposons c premier avec b ; nous aurons ±1 = cw — bvj t« et V étant des nombres entiers positifs. En multipliant par a les deux membres de cette égalité, on a
ih a = a4iu —- abv.
Or c divise acu, il divise aussi abv, par hypothèse ; donc il divise acu — abv y c'est-à-dire ±a (*).
De ce théorème découlent diverses conséquences, qu'il est inutile de rappeler ici, car nous n'avons rien à changer aux démonstrations déjà données.
7° Si un nombre est premier avec plusieurs autres, il est premier avec leur produit.
Soit, en effet, un nombre b premier avec plusieurs autres nombres «1, «2, , On,* cela veut dire qu'il existe des entiers u ei v
tels que l'on a
^i**i — ^^1 = it l»
«aWj — àv2 = ±1,
anUn — bVn = ±1.
Si on multiplie toutes ces égalités membre à membre, en observant la règle qui donne le produit de deux sommes algébriques, on voit que, dans le premier membre, tous les termes, sauf le produit de ceux qui sont dans la première colonne, contiennent b en facteur. On a donc
aitti OnV — bV = àzi,
U et V étant des nombres entiers; par conséquent, aia^ an
et b sont premiers entre eux.
De ce théorème et des précédents découlent diverses conséquences déjà étabhes et sur lesquelles il est inutile de revenir ici, puisque nous ne modifierons pas les démonstrations déjà données.
Remarque. -— L'objet de ce paragraphe a été surtout de montrer l'importance de la relation
zh 8 = &w — av, et comment on peut en déduire presque immédiatement tous les
'^i*) Nous disons qu^un nombre négatif est divisible par un nombre positif, qaand sa valeur absolue est divisible par ce nombre. Cette remarque s^applique à tout ce qui précède. Elle est d^ailleurs inutile, si on se reporte au no 67.
théorèmes établis antérieurement par des méthodes moins rapides. 11 est intéressant de montrer que, dans le cas de plusieurs nombres, il y a une égalité de même nature qui exprime le plus grand commun diviseur de ces nombres. Considérons, pour fixer les idées, quatre nombres a, 6, c, d, et soient Si le plus grand commun diviseur de a et &, S^ le plus grand commun diviseur de $i et c, et enfin i le plus grand commun diviseur de 3| et d. On a
u^ et V| étant des nombres entiers positifs ou négatifs; de même
Si = 8iu', + cii>i, Oïl 3s = au^u\ -h lfv^u\ -h cwt
ou St = aus + ^s + «ot,
t«s, t?„ 1498 étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Enfin, on ademême 5 = tt'tS|+eip8 ou ^ =z autu't-hàviu'z-hcvoiu'^^dpt^ c'est-à-dire
t43, vtf wz, pt étant des entiers positifs ou négatifs, premiers dans leur ensemble.
Quand on a l'habitude des nombres négatifs, la manière dont on écrit l'égalité ±l^hu^av n'a pas d'importance et on peut aussi bien adopter la notation
8 = au + ^v.
* 88. R6solullon de l'équation ax-^hy = c en nombres entiers — Si a, d et c sont des nombres entiers positifs ou négatifs, on peut se proposer de trouver tous les couples de nombres entiers, positifs ou négatifs, qui, mis à la place de oo et y, vérifient l'équation
ax-{'hy z=. c.
Tous ces couples de nombres se nomment des solutions de l'équation ; du reste, équation et solution sont des termes que nous avons déjà expliqués sommairement, en note (p. 144).
Pour résoudre la question proposée, on peut remarquer que l'on n'altère pas la condition imposée à a; et à y en multipliant ou en divisant les trois nombres a, &, e par le même nombre entier; nous pouvons donc, avant toute recherche, diviser ces trois nombres par leur plus grand commun diviseur, ou, ce qui revient au même, les supposer immédiatement premiers dans leur ensemble.
Gela posé, si a et & n'étaient pas premiers entre eux, le premier membre aurait toujours, pour toute solution entière, les diviseurs qui appartiennent en oommun à a et & ; ceux-ci n'appartiendraient pas au second membre «, puisque a^h et c sont
premier? dans leur ensemble. Par conséquent, il ne pourrait pas j avoir égalité, dans cette hypothèse, et Ton en conclut que si a et ^ ne sont pas premiers entre eux, une fois le plus grand commun diviseur de a, &, c enlevé, Téquation proposée n'a pas de Eolu tiens entières. Donc, étant donnée une équation quelconque de ce genre, on cherche le plus grand commun diviseur entre les dtui premiers nombres a et & j si ce plus grand commun diviseur ne divise pas le troisième, c, Téquation n'admet pas de solutions entières.
11 nous reste à montrer que, dans le cas où le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres divise le troisième, l'iquation proposée a une infinité de solutions entières. Nous supposerons, ce qui peut toujours être réalisé dans ce cas, que a et b sont premiers entre eux. Nous remarquons alors qu'à toute solution entière de Téquation ax-hby=:i correspond une solution entière de l'équation aa? -h % = c ; car si les nombres entiers a7o ©^ Vo vérifient Téquation aa7-|-&y = l, il est clair que les nombres cx^ et cy^ vérifient l'équation cuc-^by =z e.
Remarquons, en outre, que si Ton a une solution entière a?i, i/p de réquation proposée, il est facile d'avoir toutes les autres. En effet, appelons a? et y une autre solution entière quelconque, en supposant qu'elle existe ; nous aurons, d'après nos hypothèses, à la fois,
ax-{-by = c et aœi -h ôi/j = c ;
d'où, par soustraction,
a{ic — «4) + b(y — y^) = 0, c'est-à-dire
a(œ — xi) = &(yj — y).
On voit donc que b divise les deux membres de cette égalité, et, cuinnie il est premier avec a, il divise œ — x^; on a donc flj — ^Tj = fjt&, fi étant un certain nombre entier positif ou négatif. En portant cette valeur de a? — a?, dans l'égalité précédante, on en tire y — y^ = — fxa. Donc, étant admis que l'on connaît une solution entière de l'équation a?i, yi et qu'il y a d'auties solutions entières, x et y, on voit que toutes ces solutions sont données par les formules
a7j = a?4 -^- fji& et y = yi — \ia, dans l^quelles fx peut prendre certaines valeurs entières positives t^u .Négatives. 11 est d'ailleurs aisé de voir que quel que soit fjt les nombres a? et y vérifient l'équation ax -\- by z= c. Toute la question revient donc, en dernière analyse, à trouver une solution de l'équation ax-hby = i,
n Pour cela, nous chercherons, par la méthode ordinaire, le plus grand commun diviseur des nombres a et b, qui est 1, et nous calculerons les restes successifs en fonction de a et de b; nous
PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE iSi
arriverons ainsi à
( — i)*i = buit — avky et, en multipliant les deux membres de cette égalité par ( — !)*•
l = a[(-l)*ii,*]-h&[(-l)*ti»].
Nous avons donc, pour Téquation aa?H-ôy = I, la solution entière «^ = (— i )*"*«* et yo = (—*)****; par conséquent, pour réquation donnée aœ-hby =ie, nous avons la solutMtt ^i = (— iy^cvk et yi = (— l)*cujk. Le problème est maintenant complètement résolu.
Exemples. — Trouver les solutions entières de l'équation
Le plus grand commun diviseur des deux nombres a = 80712 et ^ = 8712 est 72 ; il divise exactement 216 ; donc Téquation admet des solutions entières et se ramène À 1121aT-+-12ly = 3.
Nous aurions à chercher maintenant le plus grand commun diviseur de H2I et 421, puis à exprimer les restes successifs que Ton trouve ainsi, en fonction de ces deux nombres. Mais nous pouvons nous servir de calculs déjà faits, car nous avons vu que
72 = 3I5&— 34a, et, par suite,
1 = 315&' — 34a', en désignant par a' et h* les nouveaux nombres 1(21 et 421. Donc nous avons de suite une solution entière de Téquatio» 1121a?-|-12ly = 1; c'est a?o = — 34 et yo = 345.
£n multipliant ces deux nombres par 3, on a une solution de l'équation
ll2la7H-<21y = 3, a?, = — 402 et y, = 945.
Toutes les autres solutions de cette équation sont données par les formules
a? = — 402-h424fJt et y = 945 — 4l24fi, fx étant un entier quelconque positif ou négatif. Résoudre en nombres entiers l'équation
73a?— 4ly = 1.
73 et 11 sont premiers entre eux ; donc cette équation a des solutions entières. Pour en avoir une, effectuons les opérations qui conduisent au plus grand commun diviseur, et calculons les restes successifs, comme il a été dit ; le dernier d'entre eux, 1, se met sous la forme
4 = 44 X20 — 73X3; donc a?o = — 3 et y© = — 20 est une solution entière de
loi PROPRIÉTÉS DBS NOBIBRBS
Téquation proposée ; toutes les autres sont comprises dans les formules
a? = — 3 4-11^1 et y = — 20 -h TfSfJt, \i étant un entier positif ou négatif. Nous aurions dû écrire
» = — 3— Hfx et y = — 20 — 73fx, pour nous conformer à ce qui a été dit dans le cas général; mais, \L pouvant prendre toutes les valeurs entières possibles, positives ou négatives, il n'y a aucun inconvénient à changer le signe de (ji.
Remarque. — On peut trouver, d'une façon peu différente, une solution entière de toute équation de ce genre, lorsqu'elle en admet. Prenons, pour exemple, l'équation 73a— ily = 2.
Nous raisonnerons ainsi : y doit être choisi de telle sorte que 73â; — 2 soit un multiple de 1 i ; si donc nous enlevons les multiples de i 1 qui sont dans 73a?, nous devrons avoir i ly j = 7a? — 2, i/i étant un certain nombre entier. De même, nous aurons 7a7i=:2 + 4yi, x^ étant un nouveau nombre entier; puis 4^8 = 3a?i — 2, puis Zœ^ = yg + 2* 11 est visible maintenant qu'en donnant à y% la valeur 1, œ^ prendra une valeur entière, i. 11 n'y a plus, à partir de ce moment, qu'à remonter la suite des équations écrites pour obtenir les valeurs des divers nombres m et y introduits :
puis 4yi = 7a?i — 2, yi = 3,
et enfin 7a? = 1 lyi + 2, a? = 5 ;
d'où Hy = 73a; — 2 = 363, y = 33.
L'équation admet donc la solution entière a; = 5, y = 33, de laquelle on déduit toutes les autres, comme il a été dit.
11 est à remarquer que la solution que Ton trouve ainsi diffère de celle que l'on trouve par la méthode déduite de la théorie du plus grand commun diviseur.
EXERCICES
1« Trouver le plus grand commun diviseur entre 28657 et i771i«
2° Trouver le plus grand commun diviseur entre 1166803 et 247808.
3"* Trouver les plus petits communs multiples des deux couples de nombres précédents*
BXBRaCBS 153
4<» Trouver le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple des quatre nombres 49980, 33810, 28420, 4il6.
5* Caractères de divisibilité par 18, 24, 36, 45.
6" Si deux nombres sont premiers entre eux, leur somme et leur produit sont des nombres premiers entre eux ; il en est de même de leur différence et de leur produit ; leur somme et leur différence n*ont pas d'autre facteur premier commun que 2.
7* Un nombre impair quelconque et la moitié du nombre précédent sont des nombres premiers entre eux.
8* Le produit de 3 nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 6, le produit de 4 nombres entiers consécutifs par 24, et le produit de 5 nombres entiers consécutifs par 420.
9* Le produit de tous les nombres entiers consécutifs depuis 1 jusqu'à j>— 1 est divisible par p quand p n*est pas premier, sauf si ;> = 4,
i0<> Si deux nombres ont pour plus grand commun diviseur S, quel est le plus grand commun diviseur de l*un d'eux et de leur somme ?
11* Le plus grand commun diviseur de deux nombres est le même que celui de leur somme et de leur plus petit commun multiple.
12<» Le plus grand commun diviseur ne change pas quand on divise l'un deux par un nombre premier avec l'autre.
13* Trouver deux nombres dont la somme soit 96 et le plus grand commun diviseur 12.
14^ Résoudre en nombres entiers les équations
4»— 5y = «l, i01aT-hl2y = 10,
