Plus petit commun multiple de plusieurs nombres
Tout multiple commun à plusieurs nombres, devant admettre tous ceux-ci pour diviseurs, contient tous les facteurs premiers de chacun de ces nombres, et il contient chacun d'eux avec un exposant non moindre que ceux qu'il a dans les nombres donnés. Il est dès lors évident que la forme la plus générale des multiples communs à plusieurs nombres s'obtient en prenant tous les facteurs premiers qui figurent dans les diverses décompositions^ chacun d'eux avec son plus haut exposant,^ et en multipliant le produit de ces divers nombres par un nombre quelconque. Le plus petit de tous ces multiples est celui pour lequel le multiplicateur employé est égal à un.
De là les deux. propositions suivantes:
1® Pour avoir le plus petit multiple commun à plusieurs nom-
breSfOn décompose ceux-ci en leurs facteurs premiers, on prend chacun de ces facteurs avec le plus haut exposant quHl a dans les nombres considérés et on les multiplie entre eux.
2^ Les multiples communs à plusieurs nombres sont les multiples du plus petit commun multiple.
Exemple: Soit à trouver le plus grand commun diviseur
DâCOMPOSITlON DBS NOMBRES ENTIBRS 161
et le plus petit commun multiple des nombres 3780, 2520,
360 et 48.
Ces divers nombres décomposés en facteurs premiers
donnent
Les facteurs premiers communs à ces nombres sont 2 et
3 , leurs plus petits exposants sont 2 et 1 ; donc le plus grand commun diviseur est 2*.3 = 12.
Le plus petit commun multiple s'obtient eh prenant tous les facteurs premiers qui figurent dans les quatre décompositions, 2, 3, 5, 7, avec leurs plus hauts exposants,
4, 3, 1, 1 ; ce nombre est donc 2*.3».5.7 = 15120.
93. Il résulte de ce qui précède que si deux nombres n'ont aucun facteur premier commun, ih n'ont pas d'autre diviseur commun que t unité , et par suite ils sont premiers entre eux; la réciproque est évidente.
Si plusieurs nombres n'ont aucun facteur premier corn-mun, ils sont premiers dans leur ensemble; la réciproque est encore évidente.
Si plusieurs nombres^ A, B, G, sont premiers respectivement avec un nombre k, leur produit est premier avec k. En effet, ces nombres n'ont, par hypothèse, aucun facteur premier commun avec le nombre k; il en est donc de môme de leur produit.
Nous n'avons signalé ces propositions évidentes, — aux- ' quelles on pourrait du reste en adjoindre beaucoup d'autres, ' — que pour montrer le grand usage qu'on peut faire, dans l'étude des propriétés des nombres, de la décomposition en facteurs premiers.
* 94. Nombres congrus ou équivalents. — Deux nombres a et b sont dits congrus ou équivalents y relativement à un module
ABJTHM. HUMB. 11
donné, m, quand leur différence est divisible par m. Si cela n'est pas, ils sont dits incongrus par rapport au module m.
E3S, .* 5 et 8 sont congras relativement au module 3 ; 5 et 7 sont incongrus.
Tout nombre est congru à lui-même relativement à un module quelconque.
Tous les nombres congrus avec un nombre donné a sont compris dans Texpression a + km, h désignant un entier quelconque, positif, négatif ou nul. Parmi eux, ily en a deux qui sont inl'é rieurs à m en valeur absolue; nous les avons appelés les restes de a relativement au module m ; le plus petit en valeur absolue s'appelle le reste minimum. Au lieu de reste^ on dit souvent résidu.
Les nombres congrus ont les mêmes restes, par rapport au module considéré.
On exprime que deux nombres sont congrus relativement a un module m de la façon suivante :
a^h (mod. m),
et ceci se lit a congru à b module m. On voit donc que les deux formules
a = & (mod. m)
et & = a -h Am,
h désignant un entier quelconque, positif, négatif ou nul, sont équivalentes.
Eoc. : 25 s 21 (mod. 4) ; les deux restes sont 1 et — 3. Le reste minimum est 1 ; 25 = 21 4- 4, 21 = 14-4X5» â5 = 14- 4 X 6.
La formule a^h (mod. m) s'appelle une congruence.
Les congruences jouissent de plusieurs propriétés semblables à celles des égalités.
Si plusieurs nombres sont congrus à un même nombre^ par rapport au même module, ils sont congrue entre eux deux à
Celte proposition est complètement évidente, d'après ce que nouâ avons dit sur la forme générale des nombres congrus à un nombre donné.
^Si Von a : a ^ a', b ^ b', . . . . , 1 ^ T (mod, m), on a
aussi
dza dz b dz . . . . dz 1= db a' ± b' ifc .. . . riz r (mod, m).
Car les deux membres ne diffèrent que par un certain multiple, positif ou négatif, de m.
Si a ^ a' {mod, m), h désignant un nombre quelconque, Oïl a aussi ab ^ a'b (mod, m).
