Plus graud commun diviseur de plusieurs nombres

Il résulte de ce qui précède, que les facteurs premiers d'un

diviseur commun à plusieurs nombres A^, A,, , An,

appartiennent tous à chacun des nombres considérés, et que chacun de ces facteurs se trouve dans les nombres donnés avec des exposants non moindres que celui qu'il a dans le diviseur envisagé. Réciproquement, si un nombre B ne con* tient que les facteurs premiers communs aux divers nombres Al, A3, , An, chacun avec un exposant au plus égal

au plus petit de ceux qu'il possède dans les nombres A, ce nombre divise exactement chacun des nombres donnés

A^ii A2, , An»

Cela posé, désignons par a, *, , / les facteurs premiers communs aux n nombres donnés, et par a, p, , X

les plus petits exposants qu'ils possèdent respectivement dans les nombres A ; les diviseurs communs à ces nombres seront les diverses valeurs que l'on obtient pour B = a«'^P'cY' A',

en donnant aux exposants a', p', , X' successivement

toutes les valeurs 0, i, 2, , a (pour «0» 0, 1, 2, , p

(pourp'), 0,1,2, ,X(pourX').

Le plus grand des nombres B est donc le nombre

et toas les autres sont des diviseurs de celui-ci. De là résultent les deux propositions suivantes :

1« Pour former le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on décompose ceux-ci en facteurs premiers^ on prend tous les facteurs premiers communs aux divers nombres, on affecte chacun d*eux du plus petit exposant qu'il a dans les nombres considérés et on fait le produit de tous les nombres cinsi obtenus.

2® Les diviseurs communs à plusieurs nombres sont les diviseurs de leur plus grand commun diviseur.