Racine carrée. — Soit à calculer à — — r près la

lUUO

racine carrée de

L'erreur permise sur le résultat complet est

= 1 millième — — millième.

D'autre part» une limite supérieure de Terreur absolue corn-

mise sur la racine est ^-=% si a désigne celle que Ton peut commettre sur a. On déterminera donc a en posant 27^<2^' '^ "l"^ •^*'"'''' '<îm' ^*"* inégalité est remplie nécessairement si on prend a < rnÂn' P^^ s^^*®>

il suffira de garder trois décimales dans le nombre employé. On traitera tout aussi aisément le cas de la racine cubique.

187. Formule complexe. — Lorsqu'il s'agit d'une formule composée par Tindication de plusieurs opérations arithmétiques successives, on procède de proche en proche : on ramène Topération totale à une suite d'opérations élémentaires dans chacune desquelles figurent au plus deux nombres choisis parmi les nombres donnés ou ceux qui en dérivent; la dernière conduit au résultat cherché et permet de fixer l'approximation nécessaire sur chacun des termes dont elle se compose ; à Taide de ces approximations on remonte aux opérations précédentes et on fixe de nouveau les approximations à faire sur les termes dont elles se composent; et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on connaisse l'approximation relative à chacun des nombres donnés et aussi celle qui correspond à chaque résultat partiel.

Mais un exemple fera mieux comprendre le mécanisme de

l'opération.

1 ab^

Proposons-nous de calculer à 7— r près le nombre p = —75»

100 cjd

a, 6, c^ d ayant pour valeurs respectives,

a =: 1,783645..., b = 2,054632..., c = 4,197021..., rf= 6,742854 ...

BRRBURS 433

Nous poserons d'abord 6« = e, puis f = ae, / = — , m = \/rf, et enfin p =

\ L'approximation demandée étant de -r-, si nous tenons

compte de la nouvelle erreur qui proviendra de la suppression des chiffres décimaux qui suivent le second, en forçant

au besoin celui-ci d'une unité, nous devrons calculer —

m avec une erreur moindre que ~- et nous aurons à déter-

zuu miner X et (j» de façon que

m'2 ^^200' or nous pouvons prendre m! = 2, et, par suite, poser simplement

cette inégalité peut se dédoubler en

or nous pouvons prendre aussi évidemment /" = 5, m" = 3; par conséquent X et (a seront limités par les inégalités

et ,<gL= 0,0020....

Pour calculer w, nous garderons donc les trois premiers chiffres décimaux du résultat et nous introduirons une nouvelle erreur égale au plus à une demi unité du 3^ ordre décimal, de sorte que Terreur à commettre sur le nombre exact ne devra pas dépasser 0,0015 . . . ; d'ailleurs la formule

des erreurs relative à m est (x = ---=^ ou ici ja = --; nous

2 va' 4

ARITHM. HUMB. 28

BRRBURS

devrons donc avoir 8 < 4 x 0.0015 = 0,0060 et il suffira de prendre dans d les trois premières décimales, puis de calculer sa racine carrée avec 4 décimales, les trois premières seules devant être conservées. Le calcul est fait à côté et donne 2,5965; il faut donc prendre m = 2,897.

L'approximation relative à / est 0,0033..., elle doit être réduite à

0;Q02S Donc, en reprenant la formule des erreurs d'un

quotient, nous aurons

Si 86

ety comme d = 4,

Nous poserons donc

et nous en déduirons ç<0,0044, Y<O,O0il; il nous suffira donc de prendre c avec trois décimales et de calculer f avec une approximation au moins égale à 0,0044.

Nous sommes ramenés à effectuer la multiplication f =: ae avee une erreur absolue au plus égale à 0,0044; retranchons-en une demi-unité du troisième ordre décimal pour Terreur que nous commettrons encore en négligeant les chiffres décimaux qui viendront après le troisième; nous devrons donc limiter <p par l'inégalité <p < 0,0039. Or nous pouvons prendre <p égal à a"e -4- e"a et nous devrons dioisfr a et & de façon à satisfaire à Tinégalité

a"e-f-ô"a< 0,0039, OU feoMment

d'affleurs nous pouvons prendre a" = 2 et e" = 10. Nous sommes donc conduits finalement à

BRREURS 435

par snite, nous garderons les quatre première» décimales

de a et nous calculerons e avec quatre décimales.

Reste à calculer e zsz b^. Ici la limite supérieure de

rerreur permise est 0,0009 — 0,000(» = 0,00085 ; nous

devrons donc poser db"^ < 0,00085 et, comme nous pou-

vons prendre b"^ = 5, nous aurons p < — -- — ou

enfin p < 0,00015. Donc nous prendrons b avec cinq décimales.

Il serait facile maintenant d'achever les calculs. Nous le ferons bientôt, quand nous nous serons servis de l'exemple actuel pour expliquer les généralités que nous allons donner.

188. M. Guyou, à qui Ton doit de grands perfectionnements à la théorie des erreurs, indique le dispositif suivant pour ordonner les calculs et appliquer méthodiquement les règles données antérieurement :

i*» Remplacer par des lettres^ dans l'expression donnée, le nombre ou les nombres auxquels on espère pouvoir substituer des nombres plus simples. Un même nombre doit être représenté par autant de lettres distinctes qu'il se présente de fois dans la formule.

^o Préparer un tableau à quatre colonnes, ayant respectivement pour titres :

(i) Opérations à effectuer ;

(2) Résultats approchés par défaut et par excès ;

(3) Approximations nécessaires ;

(4) Résultats définitifs.

3® Indiquer dans la colonne (i) les opérations à effectuer successivement, en désignant par de nouvelles lettres les résultats de ces opérations et en ayant soin, lorsque, dans une de ces opérations, on aura à utiliser un des nombres qui ont été désignés au début par des lettres, de placer la lettre qui indiqué ce nombre avant l'opération elle-même.

4® Dans la colonne (2) on inscrira des valeurs grossière-

BHRBURS

ment approchées par excès et par défaut des nombres mentionnés dans la colonne (1).

5^ Inscrire sur la dernière ligne de la colonne (3) en regard du nombre demandé rapproximation demandée ; déterminer (en plaçant les calculs au-dessous du tableau) Tapproximation nécessaire aux éléments de la dernière opération. Tinscrire en regard de ces éléments, et continuer, en remontant, jusqu'à ce que la colonne soit remplie.

6* On écrira immédiatement dans la colonne (4) les valeurs des nombres qui ont été désignés au début par des lettres, avec rapproximation indiquée en regard, et Ton effectuera enfin les opérations indiquées dans la colonne (i) en poussant les calculs jusqu'aux unités de Tordre du premier chiffre significatif à gauche de l'approximation inscrite dans la colonne (3), en forçant d'une unité le dernier chiffre conservé, lorsque le premier chiffre supprimé est égal ou supérieur à 5.

Nous avons appliqué ce dispositif à l'exemple traité antérieurement et nous avons trouvé le tableau suivant :

- Opérations

(2) Val. approchée

(3) Approx.

(4) Résul. défin.

f=ae

m-rzsld

Tfx < 0,01 , m'X < 0,01 fx < 0,002 , X < 0,0033

yw

c> -h rï< 0,0448

Quelques mots sur l'emploi des erreurs relatives.

189. Lorsqu'on veut calculer un nombre donné comme résultat d'une formule numérique avec une erreur relative moindre qu'un nombre donné a priori, on peut revenir immédiatement aux erreurs absolues, etj par suite, aux calculs précédents en procédant de la façon suivante : on calcule grossièrement une limite inférieure du nombre cberché et on multiplie la limite supérieure de l'erreur relative imposée par le nombre ainsi trouvé ; il suffit évidemment de calculer le nombre cherché avec une erreur absolue moindre que le résultat ainsi obtenu.

Toutefois remploi deserreurs relatives elles-mêmes est com mode dans quelques cas et permet d'aborder aisément les questions d'un certain genre. Proposons-nous, par exemple, de calculer un nombre avec m chiffres exacts : il suffira en général de calculer ce nombre avec une erreur absolue moindre qu'une unité de l'ordre du (m H- 1)« chiffre, c'est-à-dire

avec une erreur relative moindre que — r^r^ y étant un

BRRJiURS

nombre d*uQ seul chiffre supérieur au premier chiffre significatif à gauche du nombre cherché ou bien y étant égal à 10 ; car, si cela est, le nombre que Ton calcule est inférieur à Y quand on met la virgule à droite du premier chiffre significatif et l'erreur absolue est^ par suite, moindre que

— i--— = — -— > le nombre exact est donc compris entre y. 10"* 10"*

le nombre trouvé et celui que Ton obtient en augmentant d'une unité le m« chiffre décimal, les m — 1 premier» chiffres décimaux sont exacts en général et le nombre a m chiffres exacts. Nous supposons dans ce qui précède que Tapproximation est faîte par défaut.

Si Ton veut éviter le calcul du premier chiffre à gauche du nombre inconnu, on prend y = 10 ; dans tous les cas le maximum ainsi fixé pour y 6st sûrement acceptable.

190. Produit ou quotient. — Soit à calculer le produit de deux nombres connus a et 6, c = ab, avec m chiffres exacts.

On commence par déterminer le premier chiffre à gauche du nombre c, /, puis on prend y = f + * «t Ton impose

à Terreur relative l'obligation d'être moindre que — T7:zr*

D'après la règle relative au produit et que nous avons

établie antérieurement, il suffit de prendre des valeurs

approchées de a et d telles que les erreurs relatives soient

toutes deux moindres que ;r — r— ; on reconnaît alors à ^ 2^.10"*

simple inspectioa le nombre de chiffres que Ton doit garder dans chacun des facteurs et il n'y a plus qu'à effectuer l'opération.

Exemple.

exacts.

Calculer le produit icv/3 avec deux chiffret

BfiRBURS

On voit immédiatement que WS est plus petit que 6 ;, par conséquent Terreur relative devra être par défaut et

moindre que ^ ^, • Il suffira donc que Terreur relatiw dé chaque facteur soit moindre que ou