PRÉFACE
Il n'existe pas de science dont l'enseignement présente autant de difficulté et en même temps autant d'utilité que l'Arithmélique ; il n'est donc pas étonnant que cette branche des mathématiques ait été, de tout temps, l'objet des méditaUons des savants les plus illustres. Cependant il y a peu d'ouvrages connus qui satisfassent complètement aux conditions qui s'imposent quand il s'agit d'enseignement ; cela provient du point de vue auquel se placent les auteurs : pour les uns, il est inutile de pousser les connaissances au-delà de quelques règles de calcul ; pour les autres, tout se réduit à l'étude de la métaphysique de la science. En général, on constate que les auteurs ne se préoccupent pas assez des transformations successives que subit l'intelligence des élèves à mesure qu'ils avancent en âge; à ces transformations doivent correspondre différentes phases dans la méthode à suivre pour l'enseignement, et cette gradation exige l'emploi de livres conçus et rédigés d'une manière bien différente pour chaque période ; c'est ce que nos maîtres en pédagogie, les Allemands, ont parfaitement compris et rais en pratique avec un plein succès.
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On s'accorde généralement à reconnailre que l'étudo complète de l'arithmétique doit comprendre une période préparatoire, puis une période pratique ne porfant que sur los parties les plus importantes mais aussi les plus simples; une période complémentaire où la discussion est généralisée ; enfin une période où l'on s'occupe des parties tout à fait supérieures de la science. Comme l'a dit Macé, le premier calculateur n'a pas débuté parles règles abstraites qu'on trouve dans les livres d'école; la vraie méthode est de replacer l'élève dans les conditions du commencement, et de le faire assister en quelque sorte à la création de rarilhmélique. En s'inspirant de ces principes, on devra considérer quatre périodes dans l'enseignement de l'arithmétique.
Dans la première, on familiarise l'élève avec l'idée du nombre ; on l'habitue à composer et à décomposer des nombres 1res simples ; cet enseignement doit être surtout intuitif ; comme exercices, des problèmes tout à fait élémentaires avec des nombres à la portée des enfants ; c'est la période où l'on n'emploie pas de livre mais seulement le boulier-compteur.
Dans la deuxième, l'élève s'initie au langage arithmétique; il apprend les règles usuelles du calcul numérique ; il s'exerce à la résolution de problèmes tirés de la vie pratique et servant d'application aux opérations fondamentales du calcul ; il étudie à fond le système légal des poids et mesures et il en fait de nombreuses applications ; enfin il continue à se servir, dans toutes les occasions, du calcul mental pour exercer cette précieuse faculté. Tel doit être le programme des classes inférieures des athénées ; le livre qui servira à cet enseignement sera simple et pratique, sans développements inutiles ; il exposera les règles de calcul avec de nombreux calculs résumant tous les cas particuliers qui peuvent se présenter. C'est le programme que j'ai tâché de réaliser dans un Précis et arithmétique àont l'emploi est autorisé dans nos établissements ofilciel^.
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La troisième période correspond aux classes de 5*, 4« et 3' des collèges et des albénécs ; le cours est destiné alors à des jeunes gens qui se préparent aux carrières libérales, à tous ceux dont l'intelligence doit être développée avec soin par de fortes études, et, en particulier, aux candidats dos écoles spéciales. Ces élèves ont déjà été suffisamment exercés à la pratique des calculs ordinaires et à la résolution des problèmes élémentaires ; l'enseignement doit affecter un caractère spécial ; si au début il convient de suivre l'ordre historique, plus tard il importe de suivre l'ordre logique : les théories seront complètement et rigoureusement développées ; les élèves seront exercés à s'occuper des vérités purement spéculatives et même inutiles dans la vie pratique puisqu'elles peuvent servir à aiguiser l'esprit ; mais on ne les fatiguera pas par des discussions oiseuses et sans importance qui pourraient leur faire oublier les idées principales. Comme il faut que les jeunes gens s'habituent de bonne heure à vaincre les difficultés par eux-mêmes et sans réclamer constamment l'intervention du professeur, le rôle de celui-ci doit surtout consister à s'assurer que les élèves ont bien saisi les théories. Le programme comprendra l'exposé des règles pour les calculs abrégés qui ne peuvent être bien appliquées que par ceux qui connaissent l'esprit des méthodes; à ce propos nous dirons qu'il est vraiment désolant de devoir constater qu'on ne tire aucun profit du trésor de découvertes faites par les savants ; que de procédés intéressants qui n'ont jamais été extraits des publications scientifiques où ils se trouvent ! On s'occupera aussi des nombreux types de problèmes qui servent à aiguiser la perspicacité des élèves en les obligeant â rechercher les conditions tant implicites qu'explicites de ces questions.
C'est d'après ce programme que je publie aujourd'hui ce . Traité d'arilhméliqup. élémentaire. J'ai lâché de le rendre aussi complet que possible en dépouillant consciencieusement les ouvrages et les revues scientifiques qui pouvaient me fournir des matériaux pour mon travail ; je n'ai négligé aucun détail propre à développer la faculté du calcul oti à piquer la curiosité des jeunes gens ; j'ai exposé assez longuement le calcul des
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nombres complexes, quoiqu'il ait perdu quelque peu de son importance depuis l'adoption de plus en plus générale du système métrique décimal ; c'est qu'il est encore indispensable à ceux qui sont en relation d'affaires avec l'Angleterre et qu'il fournit d'excellents exercices de calcul par l'emploi des parties aliquotes ; j'ai décrit notre système légal des poids et mesures avec tous les détails que son importance comporte ; je me suis occui)é aussi de nos anciennes mesures locales ainsi que des systèmes métriques usités dans les pays limitrophes ; j'ai ajouté une notice sur les machines à calcul ; ces appareils qui peuvent faciliter les calculs sont couramment employés en Angleterre et en France, tandis qu'en Belgique on connaît à peine le nom de la règle à calcul qui peut rendre tant de services à ceux qui sont obligés, par la nature de leurs fonctions, à faire de longs calculs; il est inutile, je pense, d'insister sur l'utilité du petit vocabulaire étymologique qui termine l'ouvrage et qui permet de connaître à fond la signification des termes qu'on emploie. Enfin pour rendre l'ouvrage tout à fait conforme au nouveau programme ofliciel, j'ai exposé la théorie des fractions généralisées, quelques définitions relatives aux rapports et aux proportions, !a règle de trois simple et composée, le calcul des surfac;es et des solides et celui des poids d'un corps. J'ai résolu quelques problèmes servant d'applications à la géomotrie, à la cosmographie, à la physique et à la chimie ; enfin j'ai exposé quelques questions numériques de la science du droit : il est bon de montrer aux élèves des classes latines, que la pratique du barreau, aussi bien que celle des autres sciences, exige la connaissance de l'arithmétique.
Afin de ne pas donner au Traité d'arithmétique des dimensions exagérées et incompatibles avec l'usage qu'on doit en faire dans les classes, j'ai supprimé quelques détails qui ont été sufflsamments développés dans le Précis : formules des calculs les plus simples, exercices élémentaires sur le système métrique, problèmes types sur les quatre opérations fondamentales, calcul mental ; ensuite le livre est plus sobre d'explications étant destiné à une autre catégorie d'élèves. D'autre part, je n'ai
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pas hésité à faire usage de la notation en lettres quand les raisonnemenis pouvaient y gagner en généralité et en clarté : en Allemagne, où l'étude de l'aritlimé tique va de pair avec celle de Talgèbre, on habitue de bonne heure les élèves à emploj'er les formules et cette méthode est rationnelle ; en effet, les nombres peuvent être considérés sous le rapport de leurs faits, ce qui est l'objet de l'arithmétique, et de leurs lois, ce qui est l'objet de l'algèbre ; dans certains cas, on ne peut même pas séparer les deux sciences.
On ne trouvera dans le corps de l'ouvrage que les questions classiques ; les développements qui peuvent inléresser les élèves studieux et qui sont nécessaires aux candidats aux écoles spéciales sont réunis dans les appendices et les notes ; on y trouve la théorie des différents systèmes do numération, les méthodes générales relatives à la divisibilité ; quelques propriétés des nombres premiers ; certains procédés abrégés de catcnl ; la théorie des congruences de Gauss : cette théorie a reçu de nombreuses applications, de sorte qu'il est utile que les élèves se familiarisent avec elle. J'ai indiqué de nombreuses sources, ce qui m'a évité d'entrer dans des détails qui auraient pu être encombrants et ce qui engagera aussi les jeunes gens à recourir à nos dépôts scientifiques et à se familiariser avec les travaux originaux des savants ; ils verront ainsi ce qui a déjà été fait, et ils seront incités à se livrer à des travaux personnels.
La quatrième et dernière période qui doit servir de couronnement à cet enseignement méthodique de l'arithmétique correspond aux classes supérieures de la section scientiflque ; le programme comprend la théorie des fractions continues, celle des approximations numériques et des erreurs relatives et celle des quantités incommensurables; l'analyse indéterminée; les propriétés des combinaisons, des arrangements et des permutations ; l'élude des nombres figurés ; l'emploi des logarithmes considérés comme exposants et !a construction des tables ; l'élévation aux puissances et l'extraction des racines d'un degré quelconque ; quelques séries ; enfin l'histoire de l'arithmétique.
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Nous publierons sous peu un ouvrage spécial pour ce degré de l'enseignement ; cet ouvrage sera en même temps un complément de l'algèbre qui est intimement liée à rarithraé tique quand on se livre à cet ordre de considérations transcendantes.
Ce n'est que lorsque ces matières ont été étudiées à fond, qu'on peut aborder l'arithmétique supérieure ou artlkmologie (d'après Ampère) dont les ouvragss élémentaires ne peuvent parler que d'une manière trop sommaire ; cette science, très peu répandue encore, quoique bien ancienne car on doit la faire remonter à Pythagore, est une des plus élevées et des plus attrayantes pour les esprits supérieurs. Nous serions heureux si la série de nos ouvrages sur Tarithmétique pouvait engager nos jeunes savants à s'en occuper ; elle leur offrira un champ fertile en découvertes intéressantes.
