Les neuf premiers nombres
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ont pour cubes
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729; donc si un nombre est plus petit que 1000, sa racine cubique est plus petite que 10.
108. Règle. — Pour extraire, à une unité près, la racine cubique d'un nombre entier 1° on le partage en tranclies de trois chiffres à partir de la droite : le nombre de ces tranches, dont la première à gauche peut n'avoir qu'un ou deux chiffres, est égal au nombre des chiffres de la racine ; 2" on extrait la racine du plus grand cube entier contenu dans le nombre formé par la première tranche à gauche : on a ainsi le premier chiffre à gauche de la racine ; 3° on forme le cube de ce cliifire, et l'on retranche ce cube du nombre exprimé par la première tranche à gauche ; 4" on abaisse le premier chiffre de la deuxième tranche à la droite du reste et l'on divise le nombre ainsi formé par trois fois le carré du premier chiffre de la racine : la partie entière du quotient de cette division est égale ou supérieure au deuxième chiffre de la racine ; 5" pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du premier chiffre de la racine, et l'on élève le résultat au cube : si ce cube peut être retranché du nombre formé par les deux premières tranches du nombre dont on extrait la racine cubique, le chiffre essayé est exact ; dans le cas contraire, on essaye de !a même manière le chiffre inférieur d'une unité, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait trouvé le chiffre exact; 6° le deuxième chiffre de la racine étant trouvé, et le cube du nombre formé par les deux premiers chiffres de cette racine ayant été soustrait du nombre formé par les deux premières tranches, on abaisse, à la droite du reste, le premier chiffre de la iniisième tranche ; 7" on divise le nombre ainsi formé par trois fois le carré du nombre exprimé par les deux premiers chiffres de la racine : la partie entière du quotient est égale ou supérieure au troisième chiffre de la racine ; 8° pour essayer ce chiffre, on l'écrit à droite du nombre formé par les deux premiers chiffres de la racine, et l'on élève le résultat au cube : si ce cube peut être retranché du nombre formé par les trois premières tranches, le chiffre essayé est exact ; dans le cas contraire, on essaie de la même manière
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le chiffre inférieur d'une unité ; 9" on continue ainsi jusqu'à ce que toutes les tranches aient été employées.
L'excès du nombre proposé sur le cube de la racine trouvée est le reste de l'opération. Si ce reste est nul, on a la racine exacte du nombre proposé ; dans le cas contraire, on a seulement la partie entière de cette racine, ou sa valeur, par défaut, à moins d'une unité.
II peut arriver que dans l'une des divisions qu'on exécute pour trouver les différents chiffres de la racine, à partir du deuxième, le quotient entier soit plus grand que 9 ; dans ce cas, on commence les essais par le chiffre 9. Il peut arriver aussi que dans l'une des divisions dont il vient d'être question, le quotient entier soit zéro ; dans ce cas, le chiffre correspondant de la racine est zéro.
DémomtraiiOB. ■ des dizïinM d« la r:
du plus grand cab« ei
- £11« r«pos« SOT Us deux priDcip«i aaitntd : 1° te nombra le cubique d'an entier X > lOOD est égil à Is ncîne cubique ;ier contsau dans le nombie des milte de N ; 2° sî Tog retrancbe r N le cube de» dïzainee de m raciae cabiqae, et qu'au diriu le nombre dea ceulainea du reil« par trois fbia le cairé du comble de> dizaiuei d« la racine, le quotient obtenu est égal ou supérieur au cbiSn de> nnitéB de la racine.
Le premier do cei principes se démontre comme le premier principe de l'extraction de la racine carrée et le second principe est an corollaire de la formule
Cela posé, soit k eitraiie, à moins d'une unité, U racine cubique de 3â61309e2.
Le nombre proposé étant plue grand que 1000, sa racine cnbiane est sapériei a 10 ; et. d'après U premier principe, le nombre des dizaines de cett« ncine est é\ à U racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre 3S6430 mi de 3$e430Sg2. Il faut donc chercher il'âbord la partie entière de 1^356130.
Le nombre 3fiS430 étant lai-mëme plus grand que 1000, la partie entière de >a racl est égale i la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans le nombre 3 des mille de 356430 ; il faut donc cbeccber d'abord la partie entière de \yZ66.
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Le nombre 356 étant plai petit que 1000, U partie entière de » rtcine cubique n'& qu'un seul chifre; or le plus grand cube contenu en 3SS eat 343 := 7^, donc la partie «ntlindel/sëôeet 7.
Le neine cabiqae de 356430 contient donc T âiiainei ; noue allons chercher le cblEIre dee unilée de cette racine. L'eicés de 3S6 sur 7^ étant 13, il eit évident que ai l'on retranche de 356430 le cube de 7 dizaines, c'eet-ï-dire 343 mille, le reste contiendra 18 mille et 430 onitée; il lera donc 13130. Or, d'après le deuxième principe, ai l'on diTis* le nombre 134 centainea de ce reste, par troia fois le carré du nombre dea dizainea de la racine, c'eat-ii-dire par 3 X 49 an 147, le quotient obtenu sera égal ou eupérieur an chiffre des unitis de la racine de 3S6430 ; maia 134 <| 117, cela montre que le chiffre des unités doit être zéro ; on en conelnt
que 70 eat la partie entière de 1/356430.
Rerenons maintenant an nombre proposé 3Ô6430S92. Sa racine cubique contient 70 dizainea ; nous allons chercher le chiffre dea unités de cette racine. L'excès de 356430 sur 343000, cube de 70, étant 13430, il est évident que si de 356430592 on retrancha le cnbe de 70 dixainea, c'est-à-dire 343000 mille, le r«Bl« contiendra 13430 mille et 592 unités ; il tera donc 13430592. Or, d'après le deuxième principe, ai l'on divise le nombre 134305 des centaines de ce reite par trois (bis le cane du nombre dea dizainea de U racine, c'est-à-dire par 14700, le quotient obtenu S est égal on
eupérieur au chiffre dea unités de la racine ; donc la partie entière de l/'3564305S2 est égale ou inférieure à 709 . Pour reconnaître ai le chiff're dea nnilés eit efféclivement 9 , il faut Tonner le onbe de 709, et voir si ce cube peut être aoustrait de 356430592. Or 7093 = 356400829 et le nombre proposé eicède ce cube de 29763 ; on en Cflnelot
que 709 est effectiiement la partie entière de 1/366430692. REMARQUES.
109. I. Bans le courant de l'opération on est conduit à soustrairp successivement du nombre proposé le cube de la partie déjà trouTée de la racine ; cette opération est assez longue et peut être simplifiée de la manière suivante.
Soit à soustraire 706'' du nombre proposé ; représentons les 70 dizaines par a et les 9 unités par J ; on a
709' = (a + by = o' 4- 3a'6 + 3 06" + &= ; a' ou le cube des 70 dizaines a déjà élé retranché ; on a obtenu pour reste 13430592 ; il faui encore soustraire
3a'b + 3 ab^ + b^ oa b {3a^ + 3 ab + J«).
En remarquant que 3a' exprime des centaines, 3a& des dizaines et b^ des unités simples, on pourra disposer les opérations comme suit
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en retranchant 13400829 du premier reste 13430592, on obtient le reste 29763 qu'on avait trouvé déjà en soustrayant directement 709^ du nombre proposé.
110. II. Le reste auquel conduit l'extraction, à moins d'une unité, de la racine cubique d'un entier est moindre que trois fois le carré de la racine, plus trois fois cette racine, plus un (87).
111. III. Quand la racine doit avoir un assez grand nombre de chiffres,- on peut employer la méthode abrégée suivante : après avoir déterminé plus de ia moitié des chiffres de la racine et avoir soustrait le cube du nombre trouvé a, on divise le reste par trois fois le carré du nombre a : la partie entière du quotient sera le nombre qu'il faudra écrire encore à la droite du nombre a pour avoir la partie entière de la racine demandée.
Cetlo rÈgU e<t une conséqoïnse de li (onnuU — —^ — ^ * H tty — P""""
liqneils on démontr« bdlement que 3a'^ > Zab^ + h^ , à a^ i. (Xote XVII.) . EXERCICES.
I. Un nombre mi tel qu'en le mnltipliant par 2, pai 7 et par 11, on a trois DOnieani nombres dunt le produit est 228:27066, Qnel est ce nombre !
i. Stma Isire le calenl d'aprCs U règle ordinaire, dire immédiatement la racine cubique de H8877, sachant que ce nombre est nn cube parto.
3. A l'inepection du dernier chilfre à droite d'nn nombre, peut-on reconnaître s'il est on n'eit pas un cnbe parfait ï
4. Tronrer trois nombres entiers coneécutlfs. connaissant leur produit. Application, b HOfiSe.
5. Trouier un nombre oonnaissant la difTérencs entre son cube et son varié. Application à 3âGB9SI48.
6. Démontrer qu'un nombre entier ne peut être un cnbe parfait, si te chiffre des nnités étant 2 ou 6, le cliiÂ^ce des dizaines est impair.
