Les carrés de

sontl. 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; ■dottc si un nombre est plus pelit que 100, sa racine carrée est plus petite qtie 10, et pour la trouver il suffit de connaître par -cœur les carrés des neuf premiers nombres entiers. Ce tableau montre aussi que parmi les nombres de un et de deux chiffres il n'y en a que 9 dont les racines carrées soient aussi des nombres entiers, les autres ont des racines fractionnaires dont on déterminera facilement la partie entière ; c'est ce qu'on appelle extraire la racine à une unité près, .ou plus simplement extraire la racine entière du nombre.

102. Pour extraire la racine entière d'un nombre entier quelconque :

1" On partage le nombre en tranches de deux eliiffres en <iommençant par la droite ; la dernière tranclie peut n'avoir qu'un seul chiffre ; 2" on extrait la racine entière de la dernière tranche à gauche, et l'on obtient le premier chiffre à gauche de la racine demandée; 3° on retranche le carré de ce premier chiffre de la 1" tranche, et à côté du reste on écrit la tranche qui se trouve à la droite de la 1" ; enfin on sépare, dans le nombre ainsi formé, le premier chiffre à droite ; 4» on divise la partie qui reste à gauche par le double du chiffre déjà trouvé ; le quotient entier sera le deuxième chiffre de la racine demandée ou bien un chiffre trop grand. Pour le savoir, on l'écrit à la 4roite du double qui a servi de diviseur, et l'on multiplie

V G oo»^ le

le nombre ainsi obtenu par le chiffre à essayer : si le produit ne dépasse pas le nombre formé en abaissant la 2™* tranche, le chiffre essayé est exact ; sinon on essaie le chiffre après

ravoirdiminué de un, deux .... jusqu'à ce qu'on ait un chiffrequi ne soit plus trop grand ; 5° après avoir trouvé le deuxième chiffre de la racine et avoir effectué la soustraction indiquée on abaisse la S™" tranche à côté du reste ; on sépare encore le dernier chiffre à di'oite et l'on divise la partie qui resteà gauche par le double du nombre qui est formé par les deux premiers chiffres de la racine : la partie entière du quotient est le troisième chiffre de la racine ou un nombre trop grand ; on l'essaie comme le deuxième chiffre ; et ainsi de suite jusqu'à. ce qu'on ait opéré sur toutes les tranches du nombre proposé.

IfimeHitrutiol. — Nous établirona d'abord I«> d«ui principe! Guiianta i

10 Pour trjHMT la dizdina dt la raeîni earréi d'un nombre aiiitr, il lujie ^extraire, à tint vniUprit, ta racine dei eentainn du nomirt.

En effet, eoit le nombre 35 IS ; U ncine entière dm 3A centaines e«t â, donc on »: 6" < 36 < 62 eC il y a eotainement nu* nuiti de différence entre 35 et 6^, donc aussi

100 X 5^ < 3500 < 100. 6^ et (S0)2 < 3549 < (80) * ;

ce qui prou'e qne la raeine entière de 3549 comprend 5 diiaines.

2" Quand a« rilraneht, ifuit ncmère entier, le larré il» dizaina de la raciitt entière, tt jh'dn divise lie ditainee de ce relie par le double dei diminet de la racine, en obtient un quotient dont la partie entière eit le chiure dei vnitie eimplei de la racine en un ehiffi-e trop fart. (S. A. M., 1871, p. 87.)

En effet, eoit encore le nombre 3549 ; la racine comprend 5 dizainee et an ceitaia nombre d'unités simples ; donc le nombre 3540 doit comprendre le carré des Ô dizainea- 4- deni fois le produit des 6 dizaines par le chiffre des nnitéi simples -|- le carré de ce chiffre (84)- Après ayoir soustrait le carré des dizaines it reste encore les deni dernières parties ; mais le produit des dizaines per le cbiffre des unités simples est de l'ordre des dizaines, donc ce produit est tout entier contenu dans les dizaines du resleetil sera facile de déduire de cette remarque le principe en question.

Cela posé, soit a extraire, à une unité près, la racine carrée de lt9ftSI. Le nombre ll'O 6'81 1 346 "* P'"' Bf*"^ 1"« '*'' 1 '' wcioB carrée sera donc plus

—12 grande que 10. et le nombre des dizaines de la racine est la

29'6 ^ 64 racineeniièrodes 1196 centaines.

4081 685 Le nombre 1196 étant lui-même pins grand que 100,

sa racine est plus grande que 10. et l'on trouvera le» dizaines de U racine entière de 1196 en eitrajant la racine entière des 11 centaines.

U0-n<nDbn II eet enfin plus petit que 100 et «a rseine entière est S ; c'est le ohiffredes dizaines de la racine carrée de 1106. Le carré des 3 dizaines est 9 centaines ; on les retranche des 11 centaines de 1106, il reste 206. Conformément au deuiième principe on derradiriser les 29 dizaines de ce reste par deui fois le chiffre 3 ce qui fait 6; le quotient 4 est le chiffre des unités de la racine de 11S6 ou un chiffre trop fort. Unis il est facile de s'aisnret que 4 est bien le chiffre exact et pour cela on [armert<

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le double produit du diurnes 3 ou 6D par le chiffre i des nnités + le carré An «b-iffre i, DD ce qui est p!ui simple, on multiplicia, par le chiffre i im UDÏtés. le double dee dizainM ou 6D -|- le chiiTre i des uaiÛa ; on bien on multipliera le chiffre i par le nombre 64 qu'on forme en écriTant le chiffre 4 des unités t c6tê -du double 6 du chiffre des dizaines ; le produit est 2Sfi >;. 296, donc la rticine entière 4e 1196 eet34.

Bepreaons le nombre 119681. Sa racine comprend 34 dizunea et l'excès de 119681 tnr le carré des 34 dizaines est 4081, comme il est facile de le loir ; donc si l'an diiiee tes tOii dizaines de ce reste par 68 qui est le double des dizaines de la racine 'de 119681, on obtiendra le chiffre des unités de cette racine ou un chiffre trop fort ; {tour essayer le chiffre 3 du quotient, on opérera comme précédemment : a cAté du double 68 de la racine trourée on écrira le quotieut 6 ; ce qui fait 686 et l'on mnltîpliemce nombre par le quotient 6 ; le produit cet 4116 > 4081 ; donc le chiffrée «et trop grand ; on essaie 5 ; on tranre 685 X ^ = 342S < 4116, de sorte que S est bien le chiffre des unités de la racine carrée de ] 19681.

Conclusion : 346 est à une unité prèsla racine carrée de 11968L.

REMARQUES

103. I. Le reste ne peut pas dépasser le double de la racine trouvée (85); si l'on prend un chiffre trop faible on sera donc averti de la iaule.

104. II. Quand une des divisions donne un quotient supérieur à 9, on commencera les essais par le nombre 9, car tout cbiâVe est inférieur à 10.

105- III. Si l'un des dividendes est plus petit que le double de la racine trouvée par lequel il faut diviser, on écrit un à la racine et l'on abaisse la tranclie suivante :

Exemple: 56' 31' 00' 16 7504

106. IV. Quand la racine doit avoir un a.ssez grand nombre de chiflfres, on peut employer une méthode abrégée : on détermine, par la méthode ordinaire, plus de la moitié des chiffres de la racine, ou même seulement la moitié, si le nombre total des chiffres est pair, et que le premier chiffre à gauche est égal au moins à 5 ; on obtient ensuite tous les autres chiffres de la manière suivante : on abaisse à côté du dernier reste les tranches non encore employées ; on supprime à la droite de ce nombre autant de chiffres qu'il reste de chiffres de la racine à obtenir; enfin l'on divise ce nombre par le double de la racine déjà trouvée.

— assoit , par exemple , à extraire la racine entière de- 579467891239 ; la racine devant avoir 7 chiffres, on calcule d'abord, par la méthode ordinaire, les 4 premier9 chiffres de la racine, ce qui donne le nombre 2643 ; à côté du reste 4018 on abaisse les tranches non employées ce qui fait 4018801239 et l'on supprime les 3 derniers chiffres à droiteparce qu'il y a encore 3 chiffres de la racine à trouver ; puis on divise le nombre résultant 4018891 par le double 5286de la racine trouvée 2643 ; on obtient ainsi 762 pour la deuxième partie de la racine ; la racine entière demandée est 2643762.

La théorie d« cette règtt résulte immédiitement dels formule

N = b2 -t- 2a* + *2 d'où 7" = * + -5- ' N éUnt le nombre proposé, a U premiers partie et A 1> deuxième partie de la racine ; on démontre bellement d'ailleurs que — eit une fraetion plni petite que un. (Note XTI.)

EXERCICES

1. Démontrez qa'nn nombre entier De pent être un carré parfait (on carré d'nit nombre entier) si, le chiffre dei unités étant 6, le chiftre des dizaines eet pair ; on si^ le chiffre des unil^ étant 1, i ou 9, le chiffre des dizaines est impair.

i. Démontrez que le earré d'an nombre impair est an mnlUple de S augmenté d'one

3. Déterminez un nombre entier tel que la somme de ce nombre arec sa racine carréesoit 342.

i. Déterminez deui nombres, sachant que 161025 est le carré de teur eomme et 18225 la différence de lenn carrés,

5. A, B, C gagnent chacun une certaine somme par semaine. Le nombre des fraoca que gagne A, multiplié par celui que gagne B prodait tfiSO fr. ; le gain de B par celui de C donne â960 fr. ; enhn celui de A par celui de C produit 552à fr, -^ Quel est le gain hebdomadaire de cbacnn d'eux T

6. Trois ouvriers ont reçu chacun une certaine somme ; si le premier aTsit gagn» moitié pins qu'il n'a gagné en réalité, il aurait gagné â lui ecul autant que les deux antres ensemble ; le gain du premier multiplié par celai du deaii^me produit 120 fr , et celui du deuxième par celui du troiaième produit 80 fr. Quel est le gain de chaque

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