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Alors on aupprimc loua Ih nambrea de 2 en 2 t pkrtir ds 2' on 4 : pnù d« 3 «n 3 k partir de 3^ ou 9 ; de 6 an S ï pirlir de S' on 2^ et ainai de aaiu jaaqn'i c« qu'on panienne an nombre premier dont le eairt n'eat pu inféiieni an Damtire i<ee leqael la teMe doit finir : Coni les nombres non auppriméi seront det nombrsi premien.

IMmeiHlralioa. — l-ai nombres 1, 2, 3. lont premiers ; en supprimant, k partir de 2' on i, lea nombres de 2 en 2. on bit disparaître les multiples de 2 e'est-k-dire les nombres divisibles par 2 ; alon on supprime les nombres de 3 en 3, c'est-k-dire les nombree diiieibles par 3 ; mais 2 >< 3 étant dé]t supprimé on n'aura a SDpprimer qn'a partir de 3- ou 3 X 3 et alors il n'j a plue de aombrei diiiaiblee par 2 on 3 ; il n'y a plue non plus de nombres diriaibles par 4 ; car toat nombre divisible par 4 est la aomme d'nn certain nombre de foie 4 ; or, 4 est diiiaible par 2, donc la somme d'un certain nombre de fois 4 oat aussi dÎTiaible par 2 ; d'ailîenra tons les nombres diiiaibles par 2 aont Hji supprimés, et ainsi de snits. Par eiemple quand on a ■opprimé tous lea muldplee de 7 il ne reste ptni de nombree arec dea diviseurs juaqu'i 11', car on a déjb supprimé tous les multiples plus petits que 1 1' (Voit XVII).

115. Pour vérifier si un nombre donné esl premif-r, on opérera comme suit : on essaie la diïision par tous les nombres premiers successifs en commençant par 2 ; si l'une de ces divisions peut se faire le nombre n'est pas premier; sinon on pourra arrêter les essais aussitôt qu'on obtient un quotient plus petit que le diviseur essayé ; car dans ce cas le nombre proposé est premier (N. A.M., année 1871, p. 104).

El. l" Voyons si le nombre 527 est premier : On divise saccessivement 527 par les nombres première. 1. 2. 3, 5... en commentant par 2 ; on trouve que 527 eet divisible pit 17 ; donc 527 n'est paa un nombre premier.

2° Voyons si 789 est un nombre premier : jnaqu'» 23 il n'y t pas de nombre premier qui divise 7B9 ; et quand on diviee 789 par le nonbre premier suivant 2S, on obtient le quotient 27 plus encore un reste ; dts lors il est certain que 789 est nn nombre premier ; car si cela n'était paa, il serait divisible par an nombre premier pins grand que 29 et le quotient correspondant qui eerait plus petit que 27 diviserait aussi 789 ; eeU eet impossible puisque aucun nombre plus petit ^ue 29 ne peut diviser 789, comme les essais l'ont prouvé.

EXERCICES

1. Parmi lea nombres suivants indiquer ceui qui sont premien :

437, 581, 649, 763, Sfil, 973, 1001 ; 443, 577, 659, 701, 823, 937, 1003 ; 469, 599, 671, 757, 847, 919, 2311 ;

2. Trouvez, dans la suite naturelle des nombree, 11 nombree consécutifs non premiers.

3. Démontrez que tout nombre premier excepté 2 et 3, est de la forme Su i 1. La réciproque eet-elle vraie I

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§ n. — Diviseurs communs.

116. Un diviseur commun de deux ou de plusieurs nombres est un nombre qui peut diviser séparément chacun des nombres proposés ; le plus g-rand commun diviseur (p. g. c. d.) de deux ou plusieurs nombres est le plus grand de leurs diviseurs communs.

Quand le p g. c. d. est un, les nombres sont premiers entre eux.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

117. I, — Tout nombre premier qui ne divise pas un nombre est premier avec celui-ci.

Toul nombre premier n'est diTiaible que par lui-mtme on pu* un, donc >'il ne diiiae pu l'BDtre nombn, le diriieur conunan e>t an.

118. II. — Deux ou plusieurs nombres premiers sont premiers entre eux.

Ils n'ont en efiel d'antre diiûenr comman que an,

119. III. — Un diviseur de deux ou de plusieurs nombres est aussi un diviseur de leur somme ou de la différence de deux quelconques de ces nombres.

Chaque nombre se compose d'nn maltipl* dn diviienr et dès lors la somme et la diEKrsBce sont xatà dM multiples du diiiaeur,

La réciproque de eette proposition n'eat pas tonjoure vraie ; an effet, si nous suppoeona qu'en divisant les deux tôrmea d'une addition par un nombre on obtienne deux reet«a dont la somme est égale au diviseur, alors la eomine est aussi divisible par le dîliaenr ; de même, si eu divieant les deux termes d'une soustraction par un mâma nombre, on obtient deux reetee égaoi, le résnltal de 11 aaustracTion, sera Hosii dîviaible par le dMaenr ; Q est doue bien démontré que ai la somme ou la différence de deni nombres est divisible par an diviseur, chaque terme ï pan de la somme on de U différaoce n'est pas nécessairement divisible psr le diviseur.

120. IV. — Un diviseur d'un nombre est aussi un diviseur de ses multiples.

Le multiple d'un nombre n'est que la somme de plusieurs fois ce nombre.

121. V. - Quand un nombre est un diviseur d'un autre nombre, chacune des parties aliquotes du premier est aussi un diviseur du second.

En eflet, le second est un multiple du premier, qui est lui-même un multiple de ohacnne de >w parties aliquotee, donc le second est un multiple de cette partie aliquole.

122. VI. — Quand un nombre n'est pas diviseur d'un autre, UD multiple du premier ne divise pas non plus le second, car sinon le premier devrait diviser le second.

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123. VII. — Quand une somme peut être décomposée en deux [larties dont l'une est divisible par un certain nombre, la somme et l'autre partie donnent le même reste quand on les divise par ce certain nombre.

En effet la eomme ee compogc de la première partie qai eat an multiple do nombre coniidéré et de ta demièm» partie qui eat aussi an mnitiple du même nombre plus un rebte plus petit que ce nombre ; donc ia somme dei deai parties comprend aussi un multiple du nombre plua le même reste.

124. VIII, — Quand deu^ nombres ont un diviseur commnn, le reste de la division du plus grand par le plus petit est aussi divisible par le diviseur commun et réciproquement tout nombre qui divise le plus petit et le reste doit aussi diviser le plus grand.

En effet, 1° le rate de la diiiaion est U différence entre le diridende et te produit du diviseur f&r te quotient ; donc tout nombre qui diiiie le diridende et le diviseur et par conséquent le produit du diiiseur p&r te quotient (120) dirise U reste (IJ9) ; 2" le dividende est la somme du reste arec le produit du diTisear par le quotient, donc tout nombre qui dirise la reste et le diiiseur et par consëqaent le produit du diiisear par le quotient (120) divise anaai le dividende (119).

125. IX. — Quand le plus grand A de deux nombres A et B est divisible par le plus petit B, c'est celui-ci qui est ie p. g. c. d. des deux nombres.

Car le p. g. c. d. ne peut pas dépasser le plus petit puisqu'il doit pouToir le diviser ; or, ie plue grand nombre qui puisse diviser B c'est B lui-même ; doue si B dirise A , B est te p. g. c. d. de A et de B.

128. X. — Le p. g. c. d. de deux nombres est le même que celui du plus petit et du reste qu'on obtient en divisant le plus grand par le plus petit.

Car si l'on fait nn tableau des diviseurs communs des dsui nombres puis un tableau des dÏTiseurs communs du plus petit nombre et du reste, on vernt que ces deni tabteaui seront les mêmes ; en effet tout dirîsenr du premier tableau doit se irouier parmi les diiîseurs du second et rédproquement tout diriseur du second tableau doit se trouver parmi les diviseurs du premier.

Règles pour le calcul du p. g. c. d.

127. Première règle. — Pour trouver le p. g, c, d. de deux nombres, on divise le plus grand par le plus petit ; quand le reste est nul, le plus petit nombre est le p. g. c. d. ; si cela n'a pas lieu on divise le plus petit par le premier reste ; s'il y a encore un reste, on divise le premier reste par le deuxième ; et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne pour reste ; le dernier diviseur est le p. g. c. d. cherché.

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Soit à calculer le p. g. c. d. de 362 et 84 ; dans ia pratique on dispose les calculs de la manière suivante :

En efftt, ai 362 était divisible par le aombn 84,

14 13 I 4 I 3 celniti eerait t« p. «. c. d. (1Ï6); il )- a uq raste 28 , 84 26 6 2 donc 84 n'est pas le p. g.o d.: or. le p. g. c, d. de 6 I 2 363 et de 84 eet le ni«me que celui de 84 et du icete 15

(126) et l'on ponm raisonner jraut 84 et 28 comme on l'a fait poni 362 et 84 ; et ainsi de Buît«. Cluand on divise 6 par 2 on obtient le nute 0; donc 2 est le p. g. e. d. de 6 et 2, de 26 et 6, de S4 et 26, enfin de 362 et 84.

REMARQUES

128. I. — Les restes des divisions successives devenant de plus en plus petits, on finira nécessairement par obtenir le reste 0. iNote XIX.)

129. Il- — Si l'une des divisions donne le reste un, les deux nombres proposés sont premiers entre eux ; il en est de même si l'un des restes est un nombre premier qui ne divise pas le diviseur qui a donné ce reste,

130. III. — Quand un des restes est plus grand que la moitié du diviseur, on abrège les calculs en prenant pour le diviseur de la division, au lieu du reste lui-même, l'excès du diviseur sur le reste.

Far exemple, soit à trouver le p, g. c. d. de 372 et 48; an divise 372 par 48; le reste est 36>-x-; on prendra 48 — 36 = 12 pour te diviseur suivant et l'an divisera 48 par 12 ; on trouve ainsi d 372 = 7 X *8 + 36 = 8 X W — li de 372 et 48 est le même que celui de 41

131. IV. — Un commun diviseur de deux nombres est aussi va diviseur de leur p. g. c. d. (120) ; réciproquement, tout diviseur du p. g. c. d. de deux nombres est aussi un diviseur commun de ceux-ci.

132. V, — Quand on multiplie deux nombres par un troisième, ou qu'on les divise par un de leurs diviseurs communs, le p, g. c. d. est aussi multiplié ou divisé par le troisième nombre (90). De là résulte immédiatement que si l'on divise deux nombres successivement par leur p. g. c. d-, les deux quotients sont premiers entre eux, car leur p. g. c. d. devient tm.

133. Application. — Quand les deux nombres dont on doit chercher le p. g. c. d. ont visiblement un diviseur commun, on divise les deux nombres par ce diviseur commun ; puis on

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cberctie le p. g. c. d. des denx quotients ; enfin on multiplie ce p. g. c. d. par le diviseur commun qui a été supprimé.

134. Deuxième règle. — Pour déterminer le p. g. c. d. de plus de deux nombres, on cherche le p. g. c. d, de deux de c«s nombres, puis le p. g, c. d, du résultat obtenu et d'un troisième nombre parmi les nombres proposés; puis le p. g. c. d. du nouveau résultat et d'un quatrième nombre et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé tous les nombres ; le dernier résultat est le p. g. c. d, des nombres proposés.

Ed effet, «aient leeDoiiitire>i.B,C,D; «oit <j le p. g, c. d. de A etB ; <;■ deiietC; ^' d« iJ' et D 1 je dis que d" est le p. g c. d. de A, B, C, D. D'abord, tout diviseur comnina de A,B, C, D est un diviseur de d'' (131) ^ tout diviieur de d" est an dlTisenr cgumnade A, B, C, D(IZDJ; or le p. g. d. derf" eat if', donc ïuaiiif'eit le p. g. c. d. de A, B, C et D.

REMARQUES

135. I. — Dans la pratique, il est utile de ranger les nombres dans l'ordre croissant de grandeur, et de commencer les recherches par les deux plus petits nombres.

136. II. — Comme lorsqu'il s'agit de deux nombres, tout diviseur commun de plusieurs nombres est un diviseur de leur p. g. c. d.; quand on multiplie ou qu'on divise des nombres par un même nombre, le p. g. c. d. est aussi multiplié ou divisé par ce nombre ; quand on divise des nombres par leur p. g. c. d., les quotients sont premiers entre eux.

EXERCICES