III, — CARACTÈRES DE DIVISIBILITE

137. Les caractères de divisibilité sont des règles qui permettent de reconnaître qu'un nombre est divisible par un autre, sans qu'on soit obligé de diviser le premier par le second.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

138. I. — Quand un nombre entier est décomposé en deux parties et qu'on divise la somme et la seconde partie par un sous-multiple de la première partie, les deux divisions donnent le même reste (123) ; de là résulte que la condition nécessaire et suçante pour que la somme soit divisible par le sousmultiple de la première partie, c'est que la seconde partie soit divisible par le même nombre.

139. II. — Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un des facteurs, est un diviseur de l'autre facteur,

Sémi/ntiriitioa. — Soit lu prodait P ^: A X B diiiaible par ud nombre D premier avgc A ; je db qac B doit être dWisiblA pir D; car lo p. g. c. d. d« A et D est l, donc le p. g. c. d. de à X B ou Pet D X B est B (l32) ; or, D divùe P et D X B, donc aussi D dÎTise B (131).

140. III, — Tout nombre premier qui divise- un produit de facteurs, est nécessairement un diviseur de l'un des facteurs du produit.

7}é«Kiiiirafien. — Soit le prodait F =^ A y B X C. ., dliisible pat le nombre premier D; on peut contidérer F comme le produit dedeui facteurs AX(B . C, D...]; ■i D divise A le théorème cet démontré ; mais si le nombre premier D ne dirise pas A il est premier avec A (117) et comme il diiise le produit des dsui ficteurs A et B . C ■ D . ... il doit dirieer le produit B.C. D . .., et aiuii de suite; on prourar» tacilement qne D doit diviser l'un des t'^icteurs.

141. IV. — Il résulte aussi immédiatement de ce principe que : 1° un produit de facteurs premiers n'est divisible que par l'un de ses facteurs ; 2" tout nombre qui divise une puissance d'un nombre est aussi un diviseur de la racine; 3" si deux nombres sont premiers entre eux, les puissances de ces nombres sont aussi premières entre elles ; 4 ' tout nombre qui est premier avec chacun des facteurs d'un prodoit est aussi premier avec le produit ; et réciproquement, tout nombre qui est premier avec un produit doit être premier avec chacun des facteurs. (Note XX.)

142. V. — Quand un nombre est divisible séparément par des nombres qui, deux à deux, sont premiers entre eux, il est aussi divisible par leur produit. i

V G oo»^ le

DémonitrtUiort. — Soit TS on nombre dtTisible sépariment par les aombtu A, B, C... premioTB BOtco em ; puisque N est di lisible par A on pent écrire N^ A. Q, Qélant le quotient de N: A; orN, dono A X Q ett un multiple de B pramierftiea A, de sorte que B diïisa Q ; on p*at écrire Q = B x Q' et H = A X B X Q', " qai prauie que îf est diTiaible par A x B et ainsi de inlte.

143. VI. — Si D est un nombre premier qui ne divise pas N, ce nombre divise exactement la puissance {D — 1)* de N diminuée de un (théorème de Fermât).

VimBnttrâtion, — Considérons les nombres 1, 2, 3,... D — 1 inféiienre à D; lia sont tous premiers avec D. done aussi les produits y, 2TS. iJS,... (D — t) X sont premiers tivec D 1141. 1°) et si on les dii-ise snccessiisment par Q on aïkre des restes différente ; en effet, (opposons que deux de tes nombres nN et nS donnent le mime reste r, alors la différence mN — bN ou N ( m — u ) serait diyisibla par D (119 ) ; ce qui est absurde puisque D est premier aiec N et D ne pent diviser m — Ncarm — n -CD; par conséqneut il y ■ D — 1 restes diflër«nt* et infériears k D. et ces restes seront les I) — 1 nombres I, 2... I) — 1 dans un ordre qui importe peu ; de lï résulte que

d'où N X 2N X 3tT.... X (D — 1)N, on

[lX2x3X....X(I>-l)]N""'=D+r,x»-,X'-,X...'-j^i=D+1.2.3..tD-l);

donconfln [1 X 2 X 3 X .... (D— 1 ](N°^ ' — 1) = ï).

Or D ett premier «vec le premier bctenr donc il dirisen le second Ëu^tenr N — 1,

Divisibilité par 2.

144. Tout nombre entier peut être décomposé en un multiple de 2 plus le chiffre des unités simples ; il résulte de là qu'un nombre est divisible par 2 quand le premier chiffre à droite est 0, 2, 4, 6 ou 8.

a multiple

REMARQUES