I. — Si un nombre n'est pas premier, il est le produit
de plusieurs facteurs premiers,
Démomlralîoii, — Un nombre qui n'est pae prmnier a au moina un diviaeur premier ; si le quotient n'eet pas premier, il sera le produit d'un nombre premier par un deuiiéme quotient, etc.
170. II. — Un nombre entier ne peut être décomposé que d'une seule manière en facteurs premiers.
Dèmonttration — Soit N = oX*X o X rf (a, S. c. «ont desnomhree premiera) ; supposons qu'on pniaae décomposer N d'une autre manière ; ou bien il j aura d'autrea Jeteurs, ou bien le mfme facteur n'entrera pas le même nombre de fois dans le produit.
Il est impossible qu'il j ait nn autre facteur, car ce serait nn diriseur de N, donc Il déirait être égal i l'un des bclcurs premiers a, 6, c,,.. (140) ; ensaite le mâme facteur doit se retrouiér nu même nombre de fois dans les deux produits égaux k N
,itTCah,G00i^lc
«n elfet, supposons qu« par une première décompoailion X ait quatrofoisls bctenr «t par une deuiièma décom position trois fois le même IscteuT a ; si l'an diiiae N at par conséquent les deni produits par n^.lei deux quotients deTniient ètreésaui, etpourttilt l'un aurait le &ctenr a tandis que l'autre ne l'aurait pai, ce qui est absurde.
171. Règle. — Pour décomposer un nombre entier en ses facteurs premiers, on essaie la division par les nombres premiers consécutifs 2, 3, 5.... jusqu'à ce qu'on trouve un diviseur pour lequel le reste de la division soit nul : on a alors le plus petit facteur premier du nombre proposé. On divise le quotient par le môme nombre premier ou par les nombres premiers suivants, jusqu'à ce qu'on trouve encore un diviseur qui donne un reste nul : on a alors un second facteur premier du nombre proposé. On opère de la même manière sur le nouveau quotient, et on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait un quotient premier : ce quotient sera le dernier facteur premier du nombre proposé. (Note XXIII.)
REMARQUES
172. I. — Pour décomposer un produit de deux ou de plusieurs nombres en ses facteurs premiers, on peut décomposer séparément chacun des facteurs du produit. Par exemple : 5400 — 54 X 100 — 2 X 33 X 2" X 5= = 2' X 3» X 5*.
173. II. — Pour calculer avec facilité, il est indispensable de connaître par cœur la décomposition des 100 premiers nombres entiers'.
174. III. — Pour avoir tous les diviseurs d'un nombre donné, on décompose ce nombre en ses facteurs premiers puis on fait un tableau d'autant de lignes qu'il y a de facteurs premiers différents ; chacune de ces lignes est formée de l'unité et des puissances successives de l'un des facteurs premiers, depuis la première jusqu'à celle qui figure dans le nombre donné.
On multiplie ensuite tous les nombres de la première ligne par chacun des nombres de la deuxième, puis les produits trouvés par chacun des nombres de la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les lignes du tableau ; les produits obtenus par les nombres de la dernière ligne seront tous les diviseurs du nombre donné.
1. Voir mon précis d'arithmétique théorique et pratique à l'usage des classes de 7* et 6". M. V,-A. Le Besgue a composé des tables difenes pour la décomposition des nombres en leurs hcteurs premiers (Paris, Gauthlcr-Villars, 186Ô). Une disposition ingénieuse permet de conccntret en IS paires tous les diviseurs des nombres depuis I jusqu'à HfifiOO.
V G oo»^ le
Par ex. 360 = 2' X 3^' X 5 ; on fait le tableau ; 1, 2, 2*, 2' 1, 2, 4.
1, 3, S^ ou bien 1, 3, 9
En opérant d'après la règle
suivants :
La rtgl« eat fondic g
, 1. ,ri..l,. ..i».
on obtiendra les diviseurs
liiiDt : pour qu'un nombre eoit diTisibls par un autre, il faut *| u iujjîi gui chagui fadeur premier du ditiêeur le trouve ou diviàtade avie vn apoianl au mein» égal à celui qu'il a au diviitur ; la condi^an est nécenaire car lorsque le dividende eat divisible par le diiitenr, il est nn multipU du diiisenr, donc il comprend u>ai les facteurs du diviseur arec âïs eiposants au moins égaui a ceui du divisenr ; la condition est eugiiaalr, car lorsqu'elle eat BBlisl&ilc, on peut décomposer le dividende eu deux facteurs, dont l'un cet le produit des tàcleun du diviseur et dont l'autre est le produit des facteurs restants ' .
On troQvera le nombre total des diriseurs en augmentant de ut chaque exposant, et en multipliant entre eui les nombres ainsi obtenus.
Ainsi dans l'eiemple proposé, il ; a en tout 4X3 X 2 ^: 24 diviseurs ; en eflet «ut la premlÈre ligne il j a 3 -f- l diviseurs, sur la deuiiëme ligne 2 + 1 diviseim
(3 + 1) X ti + 1) X (l -f- 1| divlseura en tout.
On peut aussi obtenir tous les diviseurs d'un nombre sans décomposer celui-ci ; on le divise par ceux de la suite des nombres entiers 1, 2. 3.4... qui donnent pour reate joaqu'i ce que le quotient «oit moindre que le diviseur, et l'on écrit les diviseurs et les qnotienl^ ; ces nombres sont tous les diviseurs du nombre.
On trouve ainsi pour 360 :
DivistuTB 1, 2, 3, 4, 6, 6, S, 9, 10, 12, 15, 18.
Quotients SËO, 180, 120, 90, 72, SO, 4G, 40, 36. 30, 24, 20.
On Toit que le nombre dee diviseurs est pair, excepté quand le nombre donné est un earré parfait, car alors le dernier diviseur et le dernier quotient sont ésani. (NoteXXIV.)
175. On peut appliquer la décomposition des nombres à la recherche du p. g c. d. ; on décompose, en leurs facteurs premiers, les nombres dont on veut calculer lep.g.c.d.; ei
i justifier la règle en démontrant qu'un nombre quelconque tre ses hcleurs première, les produits de ceux-ci deux a deux, t ne saurait en avoir d'iulres. F. Dauqe, Ltçnns d« méthodolegii
„Gooi^lc
l'on fait le produit de tous les fecteurs premiers qui se trouvent à la fois dans tous les nombres proposés, en prenant chacun avec son plus petit exposant.
Conséquence de> principes précédent).
176. REMARQUE. — Il résuItc immédiatement de Ce procédé qu'on pourra, sans changer le p. g. c. d. de plusieurs nombres, supprimer dans chaque nombre un diviseur qui est premier avec les autres nombres.
EXERCICES
