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323. Il est clair qu'une pioporlion continue n'est qu'une proportion ordinaire dont les termes moyens sont égaux entre eux. Pour la proportion continue par diffépencc. le terme moyen est dit le moyen arithmétique ou simpleni'Mt la moyenne entre les deux autres termes ; pour la proportion continue par quotient, c'est le moyen géométrique ou proportionnel. Quant au 3^ terme it est dit alors la 3' proportionnelle aux deux autres.

324. La propriété fondamentale de la l*. A. est la suivante : la somme des moyens est égale à la somme des extrêmes ; réciproquement si quatre nombres consécutifs sont tais que la somme des moyens est égale à la somme des extrêmes, les quatre nombres sont en P. A

Dimonttration. — 1" Soit la P. A. 8 . 6 = 7 .5 ; le rapport comman eit 2 , de sorte que ekaqne antécédent est égal il >od coDiéquent plu) deux ; donc on peut écrira Il proportion edds U forme Buivintc G +2,6 = â-f2.â qui met en évidencB la proposition énoncée. 2" Soient les noœtircs 8, H, 7, 6 tels que 6-|-7^8-4-ô, on ion la F. A. 8 6 = 7 .S ; eu effet, 2 étant le rapport par différence de 8 et 6, les nombres sont 6 + 2, 6, 7 et fi ; et, comme 6-f-7 = 6-t-2-|-B, on s 7 = 2 + 5, on Toit aioii qne la différence entre 7 et o est i comme celle entre 8 et 6 ; donc Us quatre nombres S, 6, 7, fi sont en F. A.

325. Conséquences. ~\'' Tout moyen est égal à la somme des extrêmes diminuée de l'autre moyen, et tout extrême est égal à la somme des moyens diminuée de l'autre extrême ; 2" la moyenne arithmétique entre deux nombres est égale à la demi-somme de ces deux nombres; etc'.

326. La propriété fondamentale de la P. G. est la suivante : le produit des moyens est égal au produit des extrêmes ; réciproquement, si quatre membres consécutifs sont tels que le produit des moyens est ^al au produit des extrêmes, les quatre nombres sont en I'. G.

Dtmontlratvia. — lo Soit la P. Q. 10 : 4 = Ifi : 6 ; le rapport commun sst 2,G ; de sorte que chaque antécédent est égïl à son conséquent multiplié par 2, S ; donc on peut écrire la proposition sons U forme saivante 2,5 X 4 : < ^ 2, fi X 6 : 6 qui met en éiidence la proposition énoncée. 2° Soient les quatre nombres 10, 4, [fi, 6 tels que 4 X IS = 10 X 6 ; on aura la I'. U. 10 i 4 = Ifi : 6 ; en effet, 2,5 étant le rapport do 10: 4, les nombres sont 2,6 X 4, 4, 15 et 6 ; et comme 4 X IS = 2,5 X 4 J< 6, on a Ifi := 2,6 X S ; on Toit ainsi que le quotient de Ifi : 6 est 2,6 comme celui de 10 : 4 ; donc les quatre Sombres 10, 4, là, 6 sont en F. Q.

327. Conséquences. — 1" Tout moyen est égal au produit des extrêmes divisé par l'autre moyen ; et tout extrême

1. On parte auxi quelquefois de U >no>jr,itiK imUc ^laicun nombra; aa entend par là le quotient qu'on obtient quand on ditiso U somme des sombres par leur quotité, la moyenne entre 4, 10 et 13 est 9.

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est égal au produit des moyens divisé par l'autre extrême ; 2" le moyen proportionnel entre deux nombres est égal à la racine carrée du produit des deux nombres; 3° lorsqu'on multiplie plusieurs proportions terme à terme, les quatre produits forment une nouvelle proportion ; 4° si plusieurs rapports sont égaux entre eux, la somme des antécédents est à la somme des conséquents comme un antécédent est à son conséquent, etc.

l>éni/>niiration. — Les d«iii premières conséquencM sont éiidentfs ; S' aoient les deni prnpoitioDs 18 : 6 = 2 1 : 7 et 3 : j = 18 : 30 ; en 1«l multiplisnt tenoe à terme, l'on &1SX3:6 x5 = 2[XlS:7X30ct cette proportion eat exacte, car le prodait des moyens est égtl au produit des eitréraes ; en effet, à canaa de la 1" proportinn ex21=18x7etàcaiiB6dela2"5X18 = 3X30,donc6X21X5X18=I8X7X3><30. i" soient les rapports égam 5 : 3 = 10 : 6 = 7,6 : 4,6 ; comme chaque antécédent est 6gil au produit du coneéquent par un nombre constant, la eomme des antéeédents est le même multiple de la somme des eonaéquenta ; ce qni démontre qu'il j a encore le même rapport entre la somme des antécédents et celle des conséquents.

328- On dit que deux grandeurs quelconques sont proportionnelles ou varient dans te même rapport, quand le rapport par quotient de deux valeurs quelconques de la première grandeur est égal au rapport par quotient des valeurs correspondantes de la deuxième grandeur.

La proportionnalité de deux grandeurs est, ou bien une convention, ou bien le résultat de l'expérience, ou bien encore un fait démontré par la science. Exemples : \° le prix d'une denrée est généralement considéré comme proportionnel à la quantité de la denrée ' ; 2" on a reconnu, par l'expérience que le mouvement diurne apparent des étoiles est tel que le nombre des degrés parcourus par chacune d'elles sur sa circonférence ost proportionnel au teinps écoulé; et que la hauteur de la chute d'un corps est proportionnelle au carré du temps que la chute a duré ; 3" on démontre, en physique, que la pression exercée par l'atmosphère sur une surface déterminée est proportionnelle à la hauteur du baromètre ; et, en géométrie, que Yaire d'un cercle esi proportionnel au carré du rayon ; etc., etc.

1. Cependant le prix d'un diamant est propor^onn«l au (mrré du poids ; ce poids s'éTslne en earata ; un caret pèle 212 mg ; quand ite ne sont paa taitlée, leur valeur eu fr. s'obtient ordinairement en mulUpliant le carré du nombre des oaiata par 4E ; on diamant taillé Tant, b poids égal, enTiron quatre fois autant ; toatetaii, quand le poids d'un diamant dépasse 7 à 8 citrate, sa raieur n'ett pins fiiée par aucune règle.

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329. Quelquefois deux grandeurs sont telles que Tune augmentant ou diminuant dans un certain rapport, l'autre, au contraire, diminue ou augmente dans le même rapport; dans ce cas, elles sont dites inversemenl proportionnelles et, par opposition , les grandeurs que nous avons considérées d'abord, sont directement proportionnelles. Ex. : 1" le nombre des ouvriers qui doivent eséculer un certain ouvrage est inversement proportionnel au temps qu'ils doivent y consacrer ; 2" la valeur d'une traction(\\xï 3. -an numérateur constant est inversement proportionnelle au dénominateur ; 3" le volume d'un gaz est inversement proportionnel à la pression que le gaz subit (toi de Mariottej ; etc.

330. Remarque. — Quand une grandeur A est inversement proportionnelle à une grandeur B, on peut dire aussi que la valeur de A est directement proportionnelle à l'inverse de celle de B ; en eflèt , soient a et a' deux valeurs de A, puis b et b' les valeurs correspondantes de B; si la grandeur A est inversement proportionnelle à la grandeur B, on aura la proportion a .- a' =b' : b et en divisant les deux derniers termes par b X b', elle devient

331. Quand une grandeur est proportionnelle à plusieurs autres, elle est proportionnelle à leur produit.

IMnunitiration. — Soit la grandsur A pioportionneUs, ïdeui autres grandeuTS B et C Soiant », 6, e M a', b', c' àtax série» d« uleoti correspondantes de ces grandeurs ; il faut démontrei que a : a' ^ A X <; : f X "'- Poni' cela ïmigiDone que li grandeur C rastant constante, b' aoit la ïaleur de B et a, celle de A ; il vient a -.a, ,= b : b' ; si alors B conserve la valeur b' et C prend ta valeur r' on anra a^ : a' = e : c' ; en multipliant lesdeui proportions terme il terme aXit :ai Xti' = i X <: : b' X '''j d'ailleurs on n'altère pas la valeur du premier rapport en divisant ses deux termes pat a, , donc enfin o ; a' = 4 X o ; 6' X <^'.

Snpposona maintenant un nombre quelconque de grandeurs B, C, D, E, etc. ; puisque A Tarie proportionDcllement â B et 1 C, il variera aussi proportionnellement B B X C ; si A varie pro portion naliemant È B X C et à D, il variera proportionnellement à B X C X D et ainsi de suite.

Application. — On démontre, en géométrie, que l'aire du rectangle est proportionnelle à la base et à la hauteur, donc elle est proportionnelle au produit de la base par la hauteur.

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I. Qa«lU «SI la TïUar da nombra inconnu z dans lea proportions EaivantïE :

8|.i = 5,éS. s

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