CHAPITRE PREMIER

Notions générales.

315. Quand on compare deux nombres, on peut se proposer de trouver la différence qui existe entre le 1*'' et le Z", ou bien le quotient qu'on obtient quand on divise le I*'' par le 2" ; le résultat de la comparaison s'appelle, dans les deux cas, le rapport des deux nombres ; si l'on obtient le rapport par une soustraction, c'est un rapport arithmétique ou par diffé-

' rence ; si l'on a fait une division c'est un rapport géométrique ou par quotient. Les deux nombres que l'on compare sont les termes du rapport ; le 1*'' nombre esc Yantécédent du rapport et le 2'* en est le conséquent,

316. Remarque. — On dit quelquefois que le rapport par quotient de deux nombres est égal, par exemple, ào ; 3; cela veut dire que l'antécédent comprend autant de fois 5 que le second contient de fois 3. Ensuite dit-on que trois nombres sont proportionnels à 4,5 et 7, on fait connaître que le premier nombre contient autant de fois 4, que le deuxième contient 5 et que le troisième contient 7 ; le rapport du 1^'' au 2" est 4 : 5, celui du 1" au 3" est 4 ; 7 enfin celui du 2* au 3" est 5 : 7 ; on dit aussi, dans ce cas que les nombres sont entre eux comme 4:5:7.

317. Le rapport par différence jouit des propriétés suivantes : P il ne change pas de valeur quand on augmente ou qu'on diminue les deux termes d'un même nombre ; 2° quand on multiplie ou qu'on divise les deux termes par un même nombre, le rapport lui-même est multiplié ou divisé par ce nombre ; 3' suivant qu'on augmente l'antécédent ou le conséquent d'un nombre, le rapport est augmenté ou diminué de ce nombre ; 4" connaissant le conséquent et le rapport, on aura l'antécédent en additionnant le conséquent et le rapport ; si l'on connaît l'antécédent et le rapport, on aura le conséquent en soustrayant le rapport de l'antécédent, etc., etc.

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318. Le rapport par quotient jouit des propriétés suivantes : }" il est plus grand ou plus petit que un suivant que l'antécédent est plus grand ou plus petit que un ; 2" ce rapport est multiplié «u divisé par un nombre suivant que l'antécédent ou le conséquent est multiplié par ce nombre ; 3" ce rapport ne change pas de valeur quand on multiplie ou qu'on divise les deux termes par un même nombre ; 4" connaissant le conséquent et le rapport, on aura l'antécédent en multipliant le conséquent par le rapport ; si l'on connaît l'antécédent et le rapport, on aura le conséquent en divisant l'antécédent par le rapport, etc.

Od démoatrera focilemeot ces piopriélés.

319. Le rapport par différence de deux grandeurs de la même espèce est la grandeur qu'il faut ajouter à l'une pour obtenir l'autre ; le rapport par quotient est le nombre par lequel il faut viultiplier l'une pour obtenir l'autre. Si les grandeurs sont évaluées en nombres leur rapport est exprimé par celui dos nombres qui en sont les mesures. (Note XXIX.)

320. Une proportion est l'expression de l'égalité de deux rapports de même espèce. La proportion est dite par différence ou arithmétique ou bien est une équidifférence si les rapports sont par différence, et la proportion est dite par quotient ou géométrique si les rapports sont par quotient'.

Sxemp'e», — PS — 6^7 — S eat nae proportion arithmétique (P. A.) on nus équïdiJFéreoco ; on l'éàtit ordinairement sona la forme 8.S ^ T ■ 3, ou bien encore 3. S : 7.3 ; on énonce celte facmule en diiant S eat à S comioe 7 eatiâ. 2- 10 ■ i^ 15 : & eat une proportion géométrique (P. G ), on l'énonce aussi en disant 10 est è 4 comme 15 est A 6*.

321. On distingue les termes d'une proportion en les nommant le l^^, le 2", le 3" et le 4" terme de la proportion suivant leur ordre successif; on dit aussi que le 1™" et le 4« sont les extrêmes et que le 2" et le 3" sont les moyens ; enfin que le 4* terme est la 4* proportionnelle arillimétique ou géométrique aux trois autres termes.

322. Trois nombres sont en proportion co^xtinue, quand le rapport du 1°' nombre au 2^ est égal au rapport du Z" au 'à".

Famiplfi. — 20 . 16=^ I6.12oup1uBaimpi«ment-^!O.16.12(comme20esliil6, 16 est a 12) at ane proportion continue pu dilFéreuce et 20 : 16 = 16 : 12,8 ou pins Aimpicment -^ 20 : 16 : 12,8 (comme 20 est k 16, 16 est i 12, B| est une proportion continue par quotient^.

t. V» terme a été introduit par Lacroix.

2. Pendant longtemps on a lié lesdoui membres d'une proportion par le signe : du '.- DourU P. A. et par ie signe :: pour la P.O. ; ces notations sont généralement stiaiidonnéei depuis que Lnbnitz adopta défintti'ement le signe ordinaire ^ de l'égalité.