CHAPITRE II. Propriétés particulières des P. G

332. I. — On peut faire subir aux termes d'une proportion toutes les transformations qu'on veut, pourvu' toutefois que le rapport dws deux premiers termes reste égal à celui des deux derniers, ou bien que le produit des moyens reste égal à celui des extrêmes (326).

Delà résulte immédiatement qu'on peut : l" échanger les moyens entre eux, ou les extrêmes ; 2° metti'e les moyens à la place des extrêmes et réciproquement; 3' échanger les deux rapports; 4° remplacer les rapports par les inverses (234).

de ces propriêlés

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Il y a ainsi huit manières différentes d'écrire une proportion avec les mêmes termes ;

5" On peut multiplier ou diviser un^oyen par un nombre quelconque, pourvu qu'on multiplie ou qO^a divise en même temps un des extrêmes par le même nombre ; 6° on peut multiplier ou diviser un moyen par un nombre quelconque pourvu que, au contraire, on divise ou multiplie, l'autre moyen par le même nombre, etc.

333. II. — Si deux proportions ont un rappôtt commun, on peut faire une troisième proportion en êgalanlt les deux autres rapports.

Car deux quantités égales i une troisitme sont égalée entre eltea (sx

334. m, — Si deux proportions ont les mêmes antéfedents ou les mêmes conséquents, on peut faire une proportioii avec les quatre termes qui restent. Ainsi : 1° soient les deux prOTortions a : & = c : rf et a : 6' = c : rf', on peut écrire b : b' = a\d' ou & : rf = J' : rf' ; 2° soient les deux proportions a : b = c\d et a' : b •= c' : d, on peut écrire a : a' = e : c' ou bien a :\ = a' : c'.

Démonitration. — 1° 1^ deux proparUon:

la farms a : c = b: det a: e ^ b' : d'; d'où 2° on niaonnen de la mSme manière.

335. IV. — Dans toute proportion on peut remplacer un deux termes du premier rapport par la somme ou la différence des deux termes de ce rapport, pourvu qu'on remplaae aussi le terme correspondant du second rapport par la somme ou la différence des deux termes de ce rapport,

DémonalTalion. — Soit la proportion a : i =: e i rf, on pent écrire ii i 6 ; t =^ e :i^ d : d ; eu effet, le produit des moyeua est égal au produit des eitrémes : le produit des moyens «it be ± bd (65) et la produit des eitrèmes est oij ± M i or le terme bd est commun et le produit be =^ ad, car pour la proportion le produit des moyens est égal an produit des eitrémes ; donc bu ± bd =r ad ^i: bd ; on pourrait démontrer de même que a:a±5=^i;:<;±rf, ou bi*n si 6 "> o, d'on d '"> o, b±a: b-d±c:d, etc.

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336. V. — Dans toute proportion la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou la différence des deux derniers, comme le premier terme est au troisième, ou comme le deuxième est au quatrième.

l'ordre dea moyciiB,

337. VI. ^ Dans toute proportion la somme ou la différence des antécédents est à la somme ou la différence des conséquents, comme un antécédent est à son conséquent.

Démonstration. — Boit la proportion a : b ^ c ; d : d'oii en inter'eiliseant l'ordre des moren», a : c =■ 6 ; d; donc d'après le principe pnîcédent a ^ c : b :iz d = a:b = e: d.

338. Conséquence. — Quand on a une série de rapports égaux la somme ou la différence d'un certain nombre d'antécédents est la somme ou la différence des conséquents qui y correspondent comme un antécédent est à son conséquent (213).

Dimonttraiion. — Soit U série de» rapporte égaui a : b = e : d-^e : f ^y : /t = » ; t ; on peut écrire a 4-e — S , b -\-f — h = a : b = c: d ^ .... ;en effet puisque a : b ^ e:f,oa ïRasei a-{- e ib -f-f = e:f, d'où a-)-e;6-(-/^S: A; done enfin a -|- ^ — 3 - * +/ — h = g : h.

339. VII. — Quand on multiplie plusieurs proportions terme à terme, les produits sont en proportion.

Ce principe a déjii «é démontré (32)).

340. VIII. — Quand on divise deux proportions terme à terme, les quotients sont en proporlion.

341. IX. — Si quatre nombres sont en proportion, leurs puissances de même degré sont en proporlion.

342.x. — Si quatre nombres sont en proportion, le ui de même indice sont en proportion.

Les trois dernier» principes seront facilement démontrés. EXERCICES.

Au mojen des principes précédents, transformer les proportions euimnte proportions dani lesquelles le nombre incoQDU X soit isolé dans un terme : a-|-3: 3 = 9 i 5

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