I. — RÈGLE DE TROIS (NOTE XXX
343. Dans un grand nombre de problèmes, les nombres dont on s'occupe sont directement ou inversement proportionnels. On peut résoudre les questions de ce genre de trois manières : 1' par la réduction à l'unité ; 2° par l'emploi des proportions ; 3° par une règle particulière appelée la règle de trois.
344. Exemple I. — 50 kg de riz coûtent 15 fr. Quel est le prix de e kg ?
Première solution (par la réduction à l'unité).
50 kg coûtent 15,00 fr.
1 kg coûte 50 fois moins ou . . . 0,30 " Ô kg coûtent fois plus ou . . . 1,80 "
Ou mieux, en remarquant que 3 est le p. g. c. d. de 50 et 6. 50 kg coûtent 15,00 fr.
2 kg -. 25 fois moins ou . . 0,60 •■ kg " 3 fois plus ou . . . 1,80 "
Deuxième solution (par les proportions).
Soit X le prix de 6 kg. Dans ce problème il y a deux rapporis : celui des poids 50 l 6 et celui des prix 15 : x \ or, ces deux rapporis sont égaux, car le prix est directement proportionnel au poids ; on a donc la proportion 50 : 6 = 15 : i« ; et, d'après la règle connue (327], «-= ^ = 1,80 fr.
Troisième solution (par la règle de trois).
La solution précédente montre que pour obtenir la valeur demandée, il faut mulliplier la grandeur de la même espèce que celle gui doit être calculée, par le rapport direct ae la 2^ valeur à la P" valeur de l'autre grandeur ; c'est ce qu'on appelle la règle de trois simple et directe.
D'après cette règle, a; = ^ x 15 fr. = 1,80 fr.
345. Exemple II. — Pour tapisser une cliambre on a employé 17 rouleaux de papier de 45 cm. de large. Combien de rouleaux aurait-on dû employer pour tapisser la même chambre avec du papier de 30 cm. de large î
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Première solution (par la réduction à l'unité).
Pour 45 cm. de large il faut 17 roui.
" 15 " •> " 3 fois plus ou 51
" 30 " - "2 fois moins ou 25,5 "
Detueième solution (par les proportions).
Soit X le nombre de rouleaux à 30 cm. Dans ce problème il y a deux rapports ; celui des largeurs 43 ; 30 et celui des nombres de rouleaux 17 ; ;» ; mais le nombre des rouleaux est inversement proportionnel â la largeur du papier, donc le 1" rapport est égal à l'inverse du 2" ; d'où la proportion 45 ; 30 =- i» : 17 et d'après la règle connue, x -= ^^^ = 25 ^ r.
Troisième solution (par la règle de trois).
11 résulte de la solution précédente qu'on obtiendra le nombre inconnu, en multipliant la valeur connue de la grandeur de la même espèce que celle qui doit être calculée par tinverse du rapport de la deuxième valeur à la première de l'autre grandeur ; c'est la règle de trois simple et inverse.
D'après cette règle, x = ^ x 17 roui. = 25 i rouleaux.
346. Exemple IIl. — 18 ouvriers ont creusé, en 50 jours, un canal de 1800 m. de long; d'un autre côté, 20 ouvriers dont chacun ne faisait que les deux tiers de l'ouvrage de l'un des 18 premiers ouvriers, en travaillant le même nombre d'heures par jour, ont creusé 1500 m. dans un terrain trois fois plus mou que le premier. On demande combien de jours ces 20 ouvriers ont travaillé?
Première solution (par la réduction à l'unité). ISouv.creusentlSOOm.iaisantuntr.l d'une dureté Ion. ..50 j. 2 » 1800 - "1 « 1 '. 450 j.
Deuxième solution (par les proportions).
Soit iT le nombre demandé de jours. Il y a, dans cette question, quatre quantités à considérer ; 1" le nombre des ouvriers, 2" le nombre de mètres à creuser, 3^ le travail relatif par chaque ouvrier, enfin 4° la dureté du terrain. Pour simplifier le problème nous le décomposerons en des problèmes
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plus simples dans lesquels il n'y ait plus que deux rapports à considérer, comme suit :
a) 18 ouvriers ont travaillé pendant 50 jours et dans certaines conditions. Combien de jours t* faudra-t-il à 20 ouvriers travaillant dans les mêmes conditions î
On peut écrire la proportion m : 50 =■ 18 : 20.
b) 20 ouvriers pour faire 1800 m. dans certaines conditions ont travaillé u jours. Combien de jours v feudra-t-il pour 1500 m. î
On peut écrire la proportion w : m = 1500 : 1800.
c) 20 ouvriers ont fait 1500 m. en v jours et dans certaines conditions. Combien de jours w leur faudrait-il s'ils ne faisaient plus, dans le même temps, que les deux tiers du travail qu'ils faisaient d'abord 1
On peut écrire la proportion «?:« = ! : § .
dj 20 ouvriers ont fait, en îc jours, 1500 m. quand chacun ne faisait que les deux tiers de l'ouvrage qu'il faisait d'abord. Combien de jours x mettraient-ils à faire le même ouvrage dans un terrain 3 fois plus mou ?
On peut écrire la proportion ic ; w = 1 : 3.
Multiplions les quatre proportions terme à terme et divisons les deux premiers termes de la proportion résultante par u X V X w, il vient :
•^^-^ "^^ 20xl80Qxf X3 ^»îi°^^-
Troisième solution (par la règle de trois).
On peut obtenir directement ce résultat au moyen de la règle suivante qu'on appelle la régie de irais composée : 1" écrivez sur deux lignes les nombres correspondants des différentes espèces de grandeurs dans les deux hypothèses que le problème comporte (le nombre demande est représenté par x) ; 2° distinguez les grandeurs directement et inversement proportionnelles au nombre demandé en désignant les jiremières par la lettre d et les autres par la lettre i ,- 3" divisez ta valeur de chaque grandeur dans la seconde hypothèse par la valeur correspondante dans la première hypothèse quand les grandeurs sont marquées de la lettre d, et inversement quand elles sont marquées de la lettre i ; enfin A" multipliez successivement le nombre donné de la même espèce que le nombre demande par chacune des fractions : on obtient ainsi la réponse demandée.
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