Un problème de calcul est l'énoncé d'une question dans
laquelle il s'agit de trouver des nombres inconnus, en opérant sur des nombres donnés, de manière à satisfaire à des conditions indiquées par l'énoncé de la question. Les conditions sont explicites quand elles sont exprimées en termes clairs et formels par l'énoncé ; elles sont implicites quand elles peuvent être tirées naturellement, par induction ou par conséquence, de la question formulée.
352. Résotfire un problème, c'est déterminer les nombres inconnus au moyen de» nombres connus ; en d'autres termes, c'est trouver les réponses aux questions proposées. La solution est la suite des opérations et des raisonnements qu'on fait pour arriver aux résultats demandés. Quelquefois on donne ce nom au résultat lui-même
3S3. A oliaque inatsut, lee néoeesit^s de la vie coiiduiBent à résoudre des problèmes de calcul ; lecommerœ, l'industrie agricole ou manufaoturière, oliaque variété d'exploitation, la pratique du droit et des Bciencea ea général, exigeât la oonnaiMaDoe dea règles de l'aritliinétique et une oertaine pratique de la r^lution des problèmes ; de plus, l'étude de cette résolution est une excellente gymnastique de l'iotelligence qui exerce la sagacité des élèves et développe leur esprit de recherche, surtout au point de vue dea cwnditiona implicites. Dbds lee classes pré [Aratoires on a. résolu dea problèmes élémentaires qui se déoomjKisent facilement ; de plus, ou s'est occupé de quelques probUmea commerciaux et flnanoiers tels que ceux s4r les intérêts simples, les mëlanges et les alliages ; la théorie des proportions donne, comme on l'a vu précédemment, une solution élégante d'une série de questions au moyen des règles de trois et de portage ; nous exposerons ici la eolutiou dea problèmes plus compliqués de l'intérêt simple, de l'escompte ea dehors et en dedans, de la rente, de la tare, dea mélangea, des alliaj^,de l'échéance oommune, des assurances et en général des quftntit^s qui se calculent d'après un taux indiqué par tant pour 100 ou pour 1000 ; nous établirons quelques formules générales avec des applications numériques ; en particulier, nous étudierons les règles généralisées des mélanges et des alliages ; nous exposerons ensuite les calculs qui se présentent, dans les cas les plus simples, pour l'évaluation des surfaces et des solides; nous résoudrons Busai quelques questions de pliysîque et de chimie et, en parCiculter, celles relatives au poii^ d'un corps', enfin nous tinirons par des problèmes qui, soit
e de? mathématiques jjour les athénées (arrêté royal
„Gooi^lc
à cause des termes originaux ou subtils de la question, soit à oauM du r^ultat à trouver, soit encora à cause des moyens à employer, oOrent de l'intérêt
au point de vue pédagogique.
Problèmes qui se calculent d'après un taux indiqué par tant pour 100 ou pour 1000.
§ I. — Intérêts.
354. L'intérêt est le profit que rapporte une somme d'argent prêtée ou placée dans une entreprise. La somme prêtée est le capital; l'intérêt que rapportent 100 fp. par an s'appelle le (aux; on l'indique par le signe °la qu'on énonce pour cent'.
355. L'intérêt d'un capital est proportionnel au montant du capital, au temps pendant lequel on le prête et au tanx. Chaque question a pour but la détermination d'une de ces quatre grandeurs, quand on connaît les trois autres.
356. Représentons abréviativement , par i, l'intérêt d'un capital représenté par c, pendant un temps représenté par t (l'unilé étant l'année) et placé à un taux [revenu de cent fr. par ani que nous représenterons par r. On établira facilement les expressions suivantes qui indiquent d'une manière concise les calculs à effectuer et qu'on appelle les formules générales de l'intérêt simple :
. cXrXt lOOXt 100 Xt , 100 xt
' 100 )'X( ' ^~ cxl ' cxr
ApplieitionB namériqnei.
357. L — Quel est le montant des intérêts de 6700 fr. à 3,50 "/o au bout de 4 ans?
(, , ,. . 67110 X 3.5 X 4 ,.„„ Solulton : t = jrrg = 938.
1. Autrefois, au lieu d'indiquer l'intértt d'une somme de 100 fr., en donnait la somme qui rapportait un fr, de rente par an ; ainsi, par exemple, si 30 tr. rapprtaient un fr. par an, on disait que le placement était fait au dtnier 20.
V G oo»^ le
II. — Quelle est la valeur d'une propriété rapportant, tous frais payés, un revenu de 1500 fr. l'an ; le taux étant
compté à 6"/o?
et.- 100 X 1500 „.„„ .
Solution : c -= — T ; — = 25000 fr.
m. — On demande à quel taux il faut placer une somme de 100000 fr. pour obtenir 5250 fr. dintérêt au bout de 9 mois.
^'^'""'^"■•'•^ ioooQox(A) ^' ^°-
IV. — Une personne a prêté 3780,75 fr. à quelqu'un ■moyennant 4,5 "/o dintérêl annuel ; l'emprunteur, en restituant la somme, donne 76,56 fr. dintérêl. Pendant combien de temps a-t-il gardé les 3780,75 fr. ?
Solution :
EXERCICES
1. Est-il plu» avantageux de placer 23700 fr. à * "/. que de placer 8500 fr. à 3 »/o et le reste à 6 «/t, '
2. Quel eat le oapiFal qui, augmenta de ses intérêt» i i\ "jo, vaut 413G0 fr. au bout de 270 jours!
S. Un capital placé à 3 ^ 'la rapporte 102,40 fr. de moins d'intérêt qu'un autre capital placé à Q °'d et valant 130 fr. de moins que le premier. Quels Bout les deux capitaux 1
i. On place un certain capital à un certain taui. Un an après, on retire le capital, on y joint 1000 fr., oc le place à 1 °/u de plus, et le revenu annuel augmente de 40 fr. Au bout de l'an, on retire de nouveau le capital, on y joint 5D0 fr., on le place de nouveau à 1 "Ir, de plus que la 2' année, et le revenu annuel est encore augmenté de 70 fr. Trouver: lole capital primitif, 2» le premier taux, 3° les revenus successifs, et vérifier si les diverses conditions du problème
5. La différence de deux capitaux est de 63000 fr. ; le premier placé à i,5 "jo et le second à 18 ",'o donnent le même intérêt. Calculer les deux capitaux.
6. Deux capitaux sont entre eux comme 7 est à 9. Quel doit Être le rapport des taux, l" pour que les inlérSts soient égaux, 2° pour qu'ils eoient entre eux comme j eat à 3 T
V G oo»^ le
