II. — ESCOMPTE EN DEDANS
360. Cet escompte que nous représenterons par E' est l'intérêt, jusqu'au jour de l'échéance, de la valeur actuelle delà somme qu'on escompte ; o» a donc
De cette formule on déduit d'abord
100 X E'=Sxrxi — Ex r y. t\
en augmentant les deux membres de E' x r x ï on obtient
E' X 100 + E' X )■ X i = S X r X f ; donc enfin
(100 + ï- X i} X E' = S X r X /, de sorte que
y Sxrxt
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361. Aa moyen des formules qu'on vient de trouver, on établira les suivantes :
(100 + r X QK' 100 X E' 100 X E'
rxt ' ^~(S-Z') X l' (S — E')xr
et l'on traduira sans peine ces formules en langage ordinaire.
362. I. — On démontre comme suit que, dans It>s mêmes conditions, l'escompte en dedans est moindre que l'escompte en
„^ Sxrxt 100 ^ 100 ^
dehors; en effet E' __ x^^j^^^^-E x^^5:^:;:^^<E,
car 100 < 100+ r X i-
363. II. — La différence entre l'escompte en dehors E et l'escompte en dedans E' est l'intérêt de celui-ci ; en effet,
, Sxrxt Sxrxt ^ Sxrxl I 100 \
100 100 + rX^ 100 \ lOO + ï- X l)
SXryt rxt SXrXt rXl E'XrXt
100 ^ 100-i-rXi lOO-l-rX^ 100 100 '
364. III. — A la règle d'escompte se rattache celle dite de la lare. La (are d'une marchandise est l'excès de son poids ort ou brut sur celui net, c'est-à dire indépendant des caisses et des autres enveloppes, au moyen desquelles on l'expédie. La tare s'évalue ordinairement comme l'escompte, c'est-à-dire à un taux déterminé.
ipplications muuériqaes.
365 1. — Un banquier accepte d'escompter à 0,50 fr. "jo par mois, un billet dont la valeur nominale est de 9000 fr. et qui est payable dans 3 mois. Quelle somme te banquier paiera-t-il au porteur du billet?
le banquier paiera 9000 — 135 — 6
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II. — On propose à un banquier d'escompter un billet dont la valeur nominale esl de 9000 /r. et qut est payable dans 3 mois. Sachant que l'intérêt annuel que les capitaux peuvent rapporter est de 5 %, quel est l'escompte que le banquier devra retenir^?
Solution. — L'escompte est E' ° ^m+0 5^i " '^^ ^'''
§ lit. — ÉCHÉANCE COMMUNE.
366. On appelle échéance commune ou moyenne, celle d'un billet unique équivalent à plusieurs billets à échéances diverses.
367. Problème. — Trouver l'échéance unique d^un billet de s fr. payable dans m mois, d'un deuxième de s' fr. dans m' mois et dun troisième de s" fr. dans m" mois, etc.
Solution. — Lavaleurnominaledubilleluniqu6ests+$'+5"... et si Ton désigne par x le nombre des mois jusqu'à l'échéance du billet unique, les intérêts de celui-ci seront les mêmes que ceux de {s -j- s' + 4-" -^ ...) x au bout de MJimois; on trouvera de même que « fr. payables dans m mois produiront autant d'intérêts que s y, m aa bout de un mois et ainsi de suite ; de sorte qu'il faut que
(s-f s' + s" + ...)a:! = s ■: m + s' X m' -\- s"y.m" ... ou plus simplement x x S (s) = S [« X m) ; dans cette formule le signe S (sigma) indique la somme de tous les termes analogues à ceux qui sont écrits à côté du signe sommaloire.
Enftn on a : x=^ (sm) : S (s).
EXERCICES
1. Sur un billet de fiflOO fr., escompté à 4 "/o, OD a retenu 37,04 fr, A oouibieii de jours le billet ^tait-il payable ?
2. Un billet de 500 fr., EOuscrit te \" janvier et payable à la fia de l'aDoée, a pBBsri suooesaitfement entre les maÎDS de trois personne» ; la première l'a reçu
1. Il faudra calculer cet escompte de maniùre que, si l'on additionne la valeur actuelle avec les intérêts de cette valeur jusqu'au jour de l'écManoe, on obtienne I our somme la valeur nominale ; c'est donc l'escompte en dedani.
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le IG mars, la 2< le 10 juillet et la 3' le 30 aeptembre. Quelle dtait à ces troi» époques In valeur réelle du billet, encalculaDtl'ettnmpteJ'après un taui annuel d'intérêt de 8"/,!
3. Une peraonoe ne peut e'aoquitter immédiatement d'une dette qu'elle doit payer aujourd'Lui ; son eréanoier accepte un billet de 12610 fr. payable dans 10 mois, et dans lequel on a tenu compte des iutérêts à S "lo pour le retard. Quelle est la eomme que doit actuellement cette personne! Que recevra ea espèces le porteur du billet, s'il fait escompter immédiatement le billet, le taux de l'esoompte étant de S j "Jo t
4. Une personne a souscrit un billet de 30O0 fr. payable dans un mois, et un autre de 2500 fr. payable dans 2 i mois. Elle veut les remplacer par un billet unique payable dans S mois. Quelle doit Stre la somme énoncée sur le billet, l'escompte étaut calculé à 6 «i» I
5. Une maroliandise pè«e brut 575 kg ; la tare est de S °/o. On demande le prix de cette marcliandise, si elle est achetée 117,50 fr. les 60 kg. net.
6. Une personne oSce pour un billet de 763 fr. payable dans sept mois la somme de 735 fr. Quel est le taux de l'escompte : 1° dans l'iiypotlièse de l'escompte en deliors ; 2» dans celle de l'escompte en dedans !
§ IV. — RENTES SUR l'ÉTAT.
368. Quand un gouvernement veut contracter un emprunt, il étnet des obligations pour le montant du capital à emprunter. On dit, par exemple, qu'il émet ces obligations au coiirsde90, s'il demande 90 fr. eo argent pour une valeur nominale de 100 fr. L'obligation donne droit à la renie, c'est-à-dire aux intérêts, h un taux déterminé, de la valeur nominale. Les obligations peuvent être négociées; le prix de vente moyen, coté à la Bourse, s'appelle le cours de la renie. Généralement les emprunts sont éteints ou, comme on le dit ordinairement, amortis au bout d'un certain temps par le rachat, chaque année, d'un certain nombre d'obligations ; mais il y a aussi des titres de rente nominatifs qui sont inscrits au nom du possesseur et dont on peut toucher la rente indéfiniment ; c'est ce qu'on appelle des renies perpétuelles.
Applications.
369. I, — La rente 3 "/o étant au cours de 94 fr., quel capital faut-it débourser pour avoir 2000 fv. de rente ?
Solution :
Pour 3 fr. de rente il faut débourser 94 fr.
- 1 - - — fr.
vGoo»^lc
ou bien, plus simplement, il faut débourser autant de fois 94 fr. qu'il y a de fois 3 fr. en 2000 fr. ; on a la même formule.
II, — En achetant du 3^ "/„ à 102, à quel taux réel placet-on son argent ?
Solution. — 102 fi*, rapportent 3,50 fr. d'intérêt ; 3,50 fr. ;
