CENTAINES
mi.
iOOO
En se combinant, les chiffres des unités les plus élevées se plaçaient à la gauche. Exemple :li =ix', 12 := .^', 13 = ■■/'.... 21 =«', 22 = -j'.
Il y avait plusieurs manières de noter les myriades ou dizaines de mille. Avec le Iota souscrit le caractère indiquait un nombre mille fois plus grand. Exemple : j — 1000, ^ = 20O0... ; avec la lettre M (Initiale de Mujiia) souscrite on avait un nombredix mille fois plus grand. Exemple : 5=|(||}oooo. Une autre manière de repi-ésenter les grands nombres était de placer des points au-dessus des lettres. Exemple : à' = lOOOO, 'ii= 100 millions.
Il y avait une autre manière semblable à celle des Romains pour écrire les nombres. Exemple -. I (t« ou /.ii) = un, n ("'"■) = 5, A (*'<:«) = 10. H (y<ai-.) = 100, X GïO-o = 1000, M lj^ùp,ei] = 10000. La valeur de chacune des lettres A, H, X, JI renfermée dans II, était multipliée par 5. Eremple : [ï~| = 5 X 10 ou 50 ; en général une leltre renfermée dans une autre lettre représentait le produit des nombres représentés par ces lettres, fircm/ite : /t\ = 10 X 10000 ou 100000.
Les fractions ayant pour numérateur l'unité étalent désignées par le dénominateur avec un accent à droite. Exemple : ^i= -f; mais la fraction -; avait quatre signes spéciaux Dans les autres cas on écrivait le dénominateur comme nous le faisons pour les exposants. Exemple : ^" = ^
APPENDICE III {page 54)
THÉORIE ÉLÉMli>TAIHE 0E3 C0-1CR(IESCES ; APPLICATIOS AUX PREUVES DES OPÉRATIO.'IS DE CALCUL (I).
Quand la différence de deux nombres entiers est divisible par un même nombre, on dit que les deux termes sont congrus ou congraettls pour le diviseur commun et ce diviseur est le module. Exemple : la différence 38 — 3 ou 35 est divisible par 5 et l'on dit que 38 est congru à 3 pour le modale 5 ; ce qu'on écrit d'une manière conventionnelle comme suit:
38^5(mod. 5)
Cette formule est une congruence; le premier membre est 28 et le second est 3.
De même 19 X 7 + 17 X |5 +3i = 4 X (2 -r- 5 X H) (mod. 43) est u.ie congruenee dont le 1" membre est 19 X 7 + 17 X (5 + 3) ou 133 + 136 ou 269; le 2» membre est 4X(2 -j-S X H) ou 4X 33 ou 140 et le module est 43 ; en eSct la différence 969 — 140 = 129 et c'est un multiple de 43 Soit 24 = tmod. 3) ; ceue formule exprime que 24 est divisible par 3.
PROPRIËTÉS
I. — Le membre ayant la plus grande valeur est la somme du plus
petit membre plus un multiple du module. Esetaple : soit 28 = 3
lerail fort désirable que l'usage des conçruences ne répandit davantage. Sea prinâpea Boni très simples ei dans les questions relaiives à la divisibilité des nombres. les restes des di lisions ou rétidui jouent un rAle plus important que les quotients dont on n'a pas A s'occuper. Voir le cours d'algèbi'e supérieure par] -A. REnaiT,
3'cd iises], 1.11.
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(mod. 5) ; on a 28 = ô + S. Le plus petit Dombrc est évidemmenl égal au plus grand diminué d'un multiple du module.
II. — On peut sans troubler la congruence ni changer le module, augmenter ou dImiDuer l'un des membres d'un multiple du module. Exemple: soit 28 = 3 (mod. 5; on aura évldemmentausslâS + 2 X5 = 5 (mod. 3).
ni. — Si l'on divise séparément chaque membre par le module, les deux restes seront égaux (ils peuvent êire nuls tous les deux). En effet soit 28 = 3 (mod. 5], les deux divisions S8 : S et 3 : 5 donnent le même
reste; en effet 28 — 5 = 5 donc ",- ou V r = -i « POur que le
i" membre soit entirr il faut que les deux restes soient égaux.
IV. — Si l'on divise un nombreparunmodule.ledividendeelle reste sont congrus pour le diviseur comme module. Exemple : Si l'on divise 28 par 5, opération qm donne le reste 5, on a 28 = S + 3 d'où 28 — 3 = 5 et 28 = 3 (mod. 5). Il résulte aussi de 19 que l'excès du dividende sur le reste est congru à pour le diviseur pris comme module.
V. — On peut, sans troubler une congruence ni changer le module, augmenter ou diminuer les deux membres d'un même nombre ou les multipllerpar un même nombre. Exemple: soil28 = 3(mod.5|; on a aussi 28 i 2 = 3 i 2 (mod. 5) ; puis 2 X 28 s 2 X 3 (mod. S). La démonstration est facile.
Vi. — On iieut sans troubler une congruence ni changer son module, diviser les deux membres par un de leurs sous-multiples communs, pourvu que le diviseur soit premier avec le module. E^eiapie : Soil 31S = liO (mod. S]; les deux membres sont divisibles par le nombre 7 premier avec le module 3; donc 315 : 7 e^ 110 : 7 (mod. S). En effet, 315 — 140 = 5 = 55 X 5 ; or tout nombre 7 qui divise séparément 513 et 110, doit diviser la différence 33 X 5 ; or 7 est premier avec 5, donc 7 doit diviser 35 (139); de sorte que 315 — 140 = 7 X 5 d'où 313 : 7 — 140 : 7 = 5.
VII. — Si deux congruences pour le même module ont un membre égal, les deux autres membres sont congrus pour le même module. Exemple : soient les congruences 24 — 9 (mod. 5) et 54 ^ 9 (mod. 5), on a aussi 54 = 24 (mod, 5), En effet, 54 - 9 = 3 et 24— 9 = 5; donc (34 — 9) — (24 — 9) = 5 ou 54 — 24 = 5 puisqu'on a augmenté d'un même nombre les deux termes de la différence.
VIII, — Si deux congruences existent pour le même module, on peut les additionner, soustraire ou multiplier membre à membre et l'on obtiendra
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une nouvelle congruence de même module. Esempie: soient les congruences 24 = 9 (mod. 5) et 73 ^ 48 (mod. 5) ; on aura 73 ± 24 ~ 48 ± 9 (mod. 5) et 24 X 73 3 9 X 48 (mod. 3i En effet. 73 = 48 + 5 et 24 =9 -f b, donc 73 ± 34 = 48 ± 9 +5; ensuite 75 X 24 = 48 X 9 + 5
IX. — Sans troubler une congruence ni changer le module, on peut élever les deux membres à une même puissance. C'est une conséquence (lu principe précédent.
Remarque. — Soient les congruences 24 ^9 (mod. 5) et 77 =ii 2 (mod. 5f ; on ne peut pas retrancher 77 de 24; dans ce cas on ajoutera à 24, par la pensée, un multiple du module qui rende la soustraction possible; pour l'exemple proposé, il but d'abord ajouter 11 X 5 à 24 et l'on a 2i + 55 — 77 ^9 — 2 (mod. 5/; en effet on a évidemment 2 = 7 (inod. 5;.
X. — Si deux congruences existent pour le même module, on peut les diviser membre à membre et l'on obtiendra une nouvelle congruence de même module, pourvu que les membres de la %' congruence divisent exactement ceux de la l'* congruence et qu'ils soient premiers avec le module.
Exempte: 36 =22{mod. 7) et 9 =2 (mod. 7);;ilvient ausssl36 : 9;;::
22 : 2 (mod. 7). En effet, 38 == 22 + 7 ei 9 = 2 + 7 ; donc ^ = «^h 7 22 il'? - I l . 22 j[6 7 X nombre entier * 2 +"T 2 9 ^^ 2 9 9 * "'
— — — - est un nombre entier et 9 étant premier avec 7, divise le mullipUcaleur de 7 ; on a donc -j" ~ a ~ ^ •''"" T -— "fT ('"*"'■ ''■
XI. — Pour un même module, un congru du dividende est le congru du produit du diviseur par celui Uu quotient plus le congru du reste.
Exemple : Soit le dividende 40569737 et le diviseur 923 ; le quotient est 4375 et le reste 696; d'où 4036973 = 923 X 4573 |- 696.
On a 405S975 ^.7 (mod. 9), car 7 est le reste de la division de 4056973 par 9; de même 923 — 5 (mod. 9]; 4373 ^ 8 (mod. 9) et 696 = 5 (mod. 9); donc 923 X 4373 = '5X8 (mod. 9) et 923 X 4373 -|- 696 rE5X84-3H7 mod. 9); c'est aussi le congru du dividende.
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Application. — Preuret des six opérations fondamenlaks (i).
La théorie des congrueoces permet d'établir des règles faciles pour ia preuve des opérations de calcul ; il convient de prendre un module qui permet de calculer facilement le reste qu'on obtient en divisant UD nombre par le module : c'est pour ce motif qu'on prend ordinairement pour module les nombres 9 ou 11. On pourrait employer les nombres 37 et 101.
On sait que 10 = 9 -h i d'où 10 = 1 (mod. 9); donc aussi toute puissance de 10 est congrue à 1 pour le module 9 ; et d'une manière plus générale une collection d'une unité décimale d'ordre quelconque est congrue à la valeur du chlfi^e ^gnlBcalii de cette collection pour le module 9 ; consèqueminent tout nombre est congru à la somme de ses chiffres sigm/icatifs pour le modale 9.
Ou démontrerait de la mime manière que si l'on partage un nombre en tranches de 2 chiffres en commençant par la droite le nombre est congru à la somme des tranches pour le module H.
Nous montrons ci-après la méthode à suivre pour la preuve des opérations par ces modules (3).
