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L’Arithmétique, indépendamment de son utilité directe, doit être considérée comme faisant avec la Géométrie , un excellent cours de logique pratique : si on veut qualifier en peu de mots ces deux sections par rapport à l'ensemble de la science, il faut répéter avec l’illustre La Grange , qu elles forment comme les deux ailes des Mathématiques .

L’édition de l’Arithmétique que j’offre aujourd’hui, diffère des trois précédentes dans des points essentiels : car j’ai dû la mettre en rapport avec un cours complet en douze volumes dont la composition qui

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inoccupé depuis plusieurs années , toucherait à sa fin , sans des circonstances qui m'ont distrait de mes travaux habituels. Je puis aujourd'hui reprendre cette vaste entreprise , avec l’espoir de la terminer et d'en publier successivement les différentes parties qui font la matière des cours dont je suis chargé à l’Université de Gand : car le plan que je m’étais tracé est précisément celui que m’impose l’enseignement universitaire.

Les changemens dont j’ai parlé, consistent sur - tout dans la restitution faite à l’Arithmétique , de plusieurs doctrines qu’on rejetait dans l’Algèbre, telles que l’extraction des racines carrée et cubique, la théorie des progressions improprement dites arithmétique et géométrique , et celle des logarithmes dont l’emploi est devenu indispensable dans les applications de l'Arithmétique aux annuités , à la solution de plusieurs cas des règles dintérêt simple et composé, d’escompte, de change, etc., etc.

En les étudiant , on reconnaîtra de plus qu’il est des questions qui, sans être pure-

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ment spéculatives et même sans sortir du cercle ordinaire des besoins, exigent quelques notions élémentaires et quelques règles d’Algèbre que j’explique occasionnellement et dans des notes détachées. J’ai cru sur-tout faire une chose utile que de donner la démonstration de la règle de double fausse position , l’une des plus importantes et des plus difficiles de l’Arithmétique , et qui , dans le petit nombre de Traités où on la trouve , n’est énoncée que comme une recette , et est réduite à .ce qu'on appelait autrefois régula cœci. Ainsi, dans mon plan, l’Arithmétique se suffit à elle-même et elle* suffit à tous les besoins.

J’ai écrit sur toutes les parties des Mathématiques, je les ai toutes professées, et j’avoue qu’il n’en est aucune dont la rédaction et l’enseignement m’aient autant coûté que l’Arithmétique : ce n’est donc jamais sans une véritable surprise que j’entends quelques enseignans en parler dédaigneusement. Dans une distribution des cours entre les professeurs de l’école Polytechnique , l’illustre La Grange qui tenait le sceptre en Mathématiques , se

DISCOURS réserva l'enseignement de l’Arithmétique , et parce que j 'étais son adjoint , il me livra une partie transcendante de la science.

Dans presque tous les Traités, et conséquemment aussi dans lenseignement, on suppose le dispositif de chaque opération déjà connu, et on établit la théorie dans cette hypothèse qui en suppose implicitement une autre , savoir, celle de l’invention même de 1 Arithmétique. Cette marche n’est pas celle que nous suivons ici : nous procédons par des questions , puisque c’est pour les résoudre quon a inventé T Arithmétique : nous commençons par la plus simple ; de celle-là nous passons par degrés à de plus composées qui pourtant ne sont que des particularités ou des inverses de la première ; nous les résolvons en suivant la marche de l’invention, et par des simplifications successives et qui se présentent naturellement, nous sommes amenés pour chacune au dispositif connu. Il est bien entendu que cette route de l’invention n’est pas celle des inventeurs, nécessairement très-embarrassée et très-tortueuse.

Dans les parties élémentaires d’une science.

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on doit toujours procéder du simple au composé , c’est-à-dire , s’élever des cas particuliers au cas général ; c’est en cela que consiste la méthode qu’on nomme classique, par opposition à la méthode académique qui embrasse une question dans sa plus grande généralité, en sorte que toutes les particularités sont comprises et comme enveloppées dans la Formule à laquelle elle parvient. Mais on peut dire que, dans ces derniers temps, quelques Géomètres avides de célébrité, et qui pourtant entendaient tout aussi mal les intérêts de leur réputation que ceux de la science , ont étrangement abusé de cette permission de généraliser; ce qui a Fait dire au célèbre La Grange , qu’on avait assez enroulé, et qu’il était temps enfin de dérouler.

Je me suis particulièrement attaché à bien éclaircir les notions Fondamentales qui sont comme la matière première de la science : à cette occasion, il ne sera pas inutile d'observer que, dans les parties des Mathématiques qui sont purement rationnelles , tout est de l’homme qui les a composées avec un très -petit nombre de matériaux pris dans

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6on intelligence , tandis que dans les branches physico-mathématiques y il emprunte de la nature des faits qui lui sont fournis soit par l'expérience soit par l’observation : aussi les conclusions qu’il tire des sciences rationnelles ont-elles le plus haut degré de rigueur, puisqu’elles ne dépendent que d’un petit nombre de conventions et de notions incontestables ; tandis que les autres résultats sont dépendans de la précision des instrumens au moyen desquels on a interrogé la nature.

A mesure que j’avance dans l’exposition de l’Arithmétique , je resserre de plus en plus l’explication et les détails de calcul, convaincu que le livre le plus fructueux , est celui qui laisse le plus à la réflexion et aux recherches. J’ai eu soin d’indiquer les passages qui doivent être ajournés à une seconde lecture , parce qu’ils supposent l’élève pleinement en possession des principes.

On dira peut-être , et avec une apparence de raison , que j’ai souvent fait d^ l’Algèbre en Arithmétique : à cela je réponds qu’à la vérité, j’ai fréquemment appliqué ce principe aussi fécond qu’il est évident , et qui

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consiste en ce que si l'on fait une opération * quelconque sur le premier membre d’une égalité, et qu’on la répète sur le second (*), les résultats seront égaux. Or, une proposition dont la vérité se manifeste au simple énoncé , et qui prend alors le caractère d’un axiome , ne pouvant être déplacée en Arithmétique, j’ai pu l’employer avec toutes ses conséquences. D’une autre part, on ne fait pas de l’Algèbre , par cela seul qu’on désigne un nombre inconnu par le symbole a?, ou y ou etc. , et qu’à l’eiTet d’en découvrir la valeur, on dégage peu- à -peu cette inconnue des nombres avec lesquels elle est engagée dans l’égalité, et on l’isole enfin dans l’un des membres dont l’autre fournit sa valeur; car pour passer de la première forme de l’équation qui est la traduction immédiate de la question, à la dernière, on n’a fait que modifier les deux membres de celle-là de la même manière, c’est-à-dire, qu’appliquer le principe énoncé.

Quelle que soit la question proposée , on

(*) Les deux membres d’une égalité sont deux phrases équivalentes, ou qui répètent la môme chose ou termes dillérens.

DISCOURS peut dire quelle n’est complètement résolue que lorsque la réponse, c’est-à-dire, la valeur de 1 inconnue , qui est le sujet de la recherche, est énoncée au moyen d’opérations à faire sur des nombres connus, ou de constructions à effectuer sur des lignes données. Ainsi la tâche soit de l’Arithmétique , soit de la Géométrie , commence où finit celle des autres branches de calcul qui concourent successivement à l’œuvre de la solution. C’est encore par l’Arithmétique qu’on tire d’une formule générale une série de résultats numériques qu’on dispose en tables qui deviennent ensuite un instrument de calcul aussi sûr qu’il est expéditif, et qui multiplie en quelque sorte les années du Géomètre.

Les Mathématiques pures ou rationnelles considèrent particulièrement tout ce qui est relatif à la grandeur ou quantité, à X étendue et à la figure ; et comme ces idées de quantité, d’étendue et de figure se trouvent liées à toutes celles qui composent le système des autres divisions de la science , l’étude de ces dernières doit avoir pour préliminaire indispensable celle des Mathématiques pures qui

PRÉLIMINAIRE, forment comme l’entrée de ce grand édifice qui, depuis un siècle, s est élevé à une hauteur immense.

On ne peut disconvenir qu'il est nécessaire ou au moins désirable, que toutes les parties d’une science aussi vaste , soient fondues d’un seul jet dans un corps d'ouvrage : en effet, le lecteur qui veut se livrer à l’étude de la Mécanique, de l’Astronomie, etc., ne trouve dans les Traités relatifs que les éiémens propres de la chose ; on lui suppose toutes les connaissances préliminaires indispensables à l'intelligence du texte : cependant il est souvent arrêté par des difficultés qui naissent de quelques lacunes dans son instruction, et obligé de recourir à des sources qui ne sont pas même indiquées. Ce n’est pas tout \ en passant d’un Traité à un autre, il faut se familiariser avec la notation, la manière et les formes de l’auteur : ainsi on a à lutter tout à la fois contre des habitudes nouvelles et toutes les difficultés inhérentes au sujet.

Tous ces inconvéniens sont sauvés dans un ouvrage conçu et exécuté sur le plan que j’ai adopté : chaque partie est une introduc-'

arj DISCOURS PRÉLIMINAIRE, tion à la suivante ; ce qui suit est fondé sur ce qui précède ; tout est coordonné dans un ordre systématique et régulier : des numéros de renvoi , en sauvant au lecteur des recherches pénibles , lui montrent dans ce grand ensemble la dépendance et la filiation des choses.

A la publication de T Arithmétique succédera d’abord et immédiatement celle de la Géométrie: le Recueil de Théorèmes et de Problèmes , les deux sections de l' Algèbre' et la Géométrie analytique , qui ont aussi passé plusieurs fois au creuset de l’enseignement , sont mûrs pour l’impression. Le calcul différentiel est composé et a déjà subi deux révisions : il me reste à récrire le calcul intégral qui , comme le calcul différentiel dont il est l’inverse, a déjà eu trois éditions, et à rédiger la Mécanique et l’Astronomie dont les matériaux sont rassemblés et coordonnés. Ces Traités réunis à l’Exposition du Système du Monde dont l’impression se poursuit avec activité , formeront un tout dont l’exécution peut, jusqu’à un certain point, mériter l’indulgence du lecteur qui voudra bien apprécier la grandeur de l’entreprise et le mérite de l'intention.