CHAPITRE IX

Pour exprimer une relation d’inégalité, on emploie ce signe >, en écrivant le plus petit des deux nombres vers la pointe, et conséquemment le pins grand vers l’ouverture, en cette manière 5 > 4> Cela posé, si l’on a 8 : 2 > 6 : 3,

c’est-à-dire, l’inégalité de rapports

et qu’on réduise ces deux fractions au dénominateur , on trouvera

or, comme les dénominateurs sont égaux , le pins grand numérateur sera celui de la plus grande fraction; mais d’ailleurs ce plus grand numérateur est le produit des termes extrêmes , et le plus petit est celui des termes moyens de 8 : 2 > 6 : 3.

Donc , etc.

( 102 ) Réciproquement y quatre nombres étant tels que le produit de deux d’enlr’eux ne soit pas égal au produit de deux autres , il n’y a pas lieu à proportion entre ces quatre nombre.

Soit l’inégalité

qui satisfait à l’énoncé : en divisant de part et d’autre d’abord par 2 puis par 3, on obtient celle-ci

- > l , d’où 8 : 2 > 6 : 3.

Quels que soient les deux nombres par lesquels on divise successivement les deux membres de I’inegalite8x3>2x6 , on tombera toujours sur une inégalité de rapports.

(103) Ainsi , i .° lorsque quatre nombres sont en proportion , le produit des extrêmes est égal à celui des moyens ; 2. 0 lorsqu’il n’y a plus proportion entre quatre nombres , il n'y a plus.

i 4 i -ARITHMÉTIQUE,

égalité entre les produits des extrêmes et des moyens (*) ,*

3 . ° lorsque le produit des termes extrêmes est égal à celui des termes moyens , il y a proportion entre ces quatre termes ;

4. ° lorsque le produit des extrêmes n'est plus égal h celui des moyens , il n'y a plus lieu h proportion entre les quatre nombres. D’où il résulte que l’égalité entre les produits des extrêmes et des * moyens , est une propriété caractéristique de la proportion.

(io 4 ) De cette propriété essentielle de la proportion qui consiste dans l’égalité entre le produit des extrêmes et celui des moyens, on déduit la solution de cette question : connaissant trois termes (P une proportion , trouver le quatrième.

Supposons d’abord que le terme inconnu soit uu extrême que nous désignerons par x , et que le nombre x doive être tel qu’on ait

8 • 4 = 6 : x on tire de là 8 Xr = 4 X 6)

en divisant de part et d’autre par 8, on aura

et , en eflet , écrivant 3 pour x dans la première proportion , on a 8 : 4 — 6 : 3 .

Que si le terme inconnu est un moyen, et qu’on ait à satisfaire à la proportion

à cause de l^x = 3 x 8 = a 4 ,

il viendra , après la division des deux membres par 4 >

et , en effet , 8 : 4 = 6 : 3 .

(*) Il faut toujours entendre par termes extrêmes le premier et le dernier de la suite des deux rapports inégaux , et par termes moyens , les deux intermédiaires.