CHAPITRE IX. i3g

que nous nommerons simplement proportion : elle revient à l’égalité

réduisant ces fractions au même dénominateur , on a 8x3 6x4 .

or, ces deux fractions étant égales, sous un dénominateur commun , les numérateurs sont nécessairement égaux ; mais l’un d’eux, 8 X 3, est le produit des extrêmes de la proportion , et l’autre , 6 X ut ie produit des moyens. Donc , etc.

(ioo) Réciproquement , quatre nombres tels que le produit de deux de ces nombres, soit égal au prodiut des deux autres , pourront former une proportion.

Soit l’égalité

qui exprime la condition énoncée : si l’on divise de part et’d’autre par 4» on aura

si l’on divise ensuite par 3, il viendra 8. 6

d’où on conclut la proportion

entre les quatre nombres donnés. On aurait pu diviser les deux membres de l’égalité

d’abord par 6, puis par 3, ce qui aurait donné l’égalité

I = 4, d’dù 8 : 6 :: 4: 3:

or, cette proportion ayant lieu en même temps que la précédente 8 : 4 = 6 : 3,

i4o ARITHMÉTIQUE,

puisqu’elles sont tirées de Ja même égalité 8 X 3 = 4x8, on déduit de leur rapprochement cette nouvelle propriété : Dans toute proportion géométrique , on peut changer les moyens de place.

On pourrait encore diviser les deux membres de l’égalité R X 3 = 4 x 6

d’abord par 8, et ensuite par 6, ce qui donnerait !■ = 4 : d’où 4 : 8 = 6 : 3 :

cette proportion ayaut lieu en même temps que celle-ci 8 : 4 = 6 : 3,

puisqu’elles sont tirées d’une même égalité, il est démontré que •

Dans toute proportion géométrique , on peut écrire les conséquens en place clés antécédens , et réciproquement.

Au reste , ces deux propriétés peuvent se déduire plus simplement de l’égalité

qui divisée d’abord par 6, et ensuite multipliée par 4»

donne

- = î : d’où 8 : 6 = 4 : 3. •

Pour obtenir la seconde , on observe que l’égalité primitive

a nécessairement lieu en même temps que celle-ci ~=~

entre les mêmes fractions renversées, et que cette dernière revient à

(ioi) Lorsque deux rapports ne sont plus égaux , ou en cT autres termes , lorsque quatre nombres ne sont plus en proportion , le produit des extrêmes n'est plus égal à celui des moyens ,