e Cas.—Soit à diviser 86750 par
La première chose à faire est de rechercher quelle est l'espèce de la plus haute unité du quotient et ensuite quelle sera cette unité. Or le dividende est le produit du diviseur par le quotient ; donc en multipliant 235 par les unités du quotient, il faut reproduire le dividende.
Mais 235 X 1 < 86750 donc le quotient contient des unités.
235 x 10 < 86750 Ca “des dizaines.
235 X 100 < 86750 pat : “ des centaines.
235 X 1000 > 86750 SENS ne contient pas d'unité de mille,
L'espèce des plus hautes unités du quotient est done déterminé et sera des centaines,
Or, le produit du diviseur par les centaines du quotient, est un nombre exact de centaines qui ne peut se trouver que «uns Gv. centaines du dividende,
Pour trouver ce chiffre des centaines du quotient, il suffit évidemment, de diviser les 867 centaines du dividende par les 235 unités du diviseur. Opération qui peut .e faire en vertu du 2° cas de la division,
Cette opération donne le chiffre exact du quotient ou un chiffre trop fort. Pour s'en assurer, on effectue le produit qui doit pouvoir se soustraire des centaines du dividende, Dans le cas contraire, on diminue le quotient progressivement de une unité jusqu'à ce que le produit soit égal ou inférieur au dividende.
86750 | 235 Le reste 16250 contient le produit 70500 369 du diviseur par les dizaines et 16250 unités du quotient. Or, le produit 14100 du diviseur par les dizaines du quotient étant un nombre exact de
2150 dizaines, ne peut se trouver que y dans les 1625 dizaines du nouveau 35 dividende. Pour trouver ce chiffre,
il suffit de diviser les 1625 dizaines par 235, ce qui donne le chiffre exact des dizaines du quotient ou un chiffre trop fort, On s'assure, par le procédé cité plus haut, de l'exactitude de ce chiffre.
On trouve ainsi un nouveau reste ou dividende partiel 2150 qui ne renferme plus que le produit du divi: ur par les unités du quotient. Cette dernière opération se fait par les procé:lés du 2e cas,
D'où Règle.— Pour diviser deux nombres entiere l'un par l'autre, on écrit Le diviseur à droite du dividende dont on le sépare par un trait vertical et l'on souligne Le diviseur pour le séparer du quotient que l'on écrit en dessous.
Gela fait, on sépare par un point, sur la gauche du dividende, autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur ou un de plus, ei le nombre résultant est plus petit que le diviseur ; ce qui donne le premier dividende partiel que l'on divise par le diviseur : on obtient ainsi le premier chifre du quotient et l'on soustrait le produit du dividende partiel.
À la droite du reste ainsi obtenu, on écrit Le chiffre suivant - du ‘vidende, ce qui donne un second dividende partiel sur lequel on opère comme sur le premier, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on aît abaissé successivement tous Les chiffres du dividende.
La suite de tous les chiffres obtenus au quotient forme le quotient cherché,
6L Le produit du diviseur par les unités du quotient peut être égal au dernier dividende partiel ou lui être inférieur.
Dans le premier cas, la division se fait exactement sans laisser de reste ; dans le second cas, la division laisse un reste.
On peut done écrire, d'une fuçon générale, en appelant D le dividende, d le diviseur, Q le quotient et R le reste :
D=dxQ+R formule générale, dans laquelle R paut être égal ou différent de zéro, mais toujours plus petit que d.
52. S'il arrive qu'après avoir abaissé un chiffre du dividende à la suite du reste, on obtienne un dividende partiel moindre que le diviseur, on écrit 0 au quotient ; on abaisse le chiffre suivant du dividenüe à la droite du dividende partiel précédent et l'on continue l'opération avec le nouveau dividende partiel.
53. Théorème I.—Duns toute division, si on uugmente ou dirinue le dividende sans toucher au diviseur, le quotient devient plus grand ou plus petit.
En efet, le nombre à partager étant devenu plus grand ou plus petit, ‘hacune des parties exprimées par le quotient sera devenue plus grande ou plus petite.
Mes HE,
54 Théorème I1.— Dans toute division, si on augmente ou diminue la diviseur sans toucher au dividende, le quotient devient plus petit ou plus yrand,
En effet, le nombre de parties que l'on doit faire devenant plus grand ou plus petit, chacune des parties deviendra plus petite ou plus grande
65. Théorème ILI.— Le quotient de deux nombres ne change pas si on mulliplie ou ei on divise à Lu fois le dividende et le diviseur par un même nombre.
Soient A le dividende, B le diviseur et Q le quotient,
D'après la définition de la division et la formule générale (61), on peut écrire A — B x Q.
Multiplions les deux nombres de cette égalité par un nombre quelconque m, il vient :
AXm=BxQxm ou AXm=BXxmXxQ
Et on voit que le quotient Q n'a pas changé.
Autrement : En multipliant par m le dividende sans toucher au diviseur, on rend le quotient m foi: plus grand (53) ; en multipliant le diviseur Par 7-,sans toucher au divi. dende, on rend le quotient », fois plus petit ; donc le quotient, ayant été rendu m fois plus grand, puis m fois plus petit, n'a pas changé de valeur.
56. Théorème IV.—Si on multiplie ou qu'on divise Le dividende par un nombre, le quotient et le reste (s'il y en a) sont multipliés par ce nombre.
Soi D=dQ+R Maltiplions les deux membres par un nombre mn, il vient : Dm=(dQ+R)m et en vertu de (43) Dm=dQxm+Rm ou Dm=dxQm+Rm ce. q Ê. d.
57. Théorème V.-—- Si on multiplie ou qu'on divise à La fois le dividende et le diviseur par un méme nombre, le
quotieñt ne change pas, maïs le reste est multiplié par ce mombre. N Soit D=dQ+R Dm=(dQ+R)m=dQxm+Rm et en vertu de (41) Dr: = dm X Q-+HRm Ce qui démontre le théorème.
58. Théorème VI.-—On n'altère pas le reste de La division de deux nombres en supprimant dans le dividende un multiple exuct du diviseur.
Soit A=BQ+R (1)
Supposons que À contienne un multiple m.B du diviseur B. Retranchons ce multiple des deux membres de l'égalité (1), il vient : Ê
A—mB=BQ+R—mB ou A—mB=B(Q—m)+R
Ce qui démontre le théorème.
59. Le théorème III permet de simplifier la division dans le cas où le dividende et le diviseur sont tous deux terminés par des zéros.
Règle.— Lorsque le dividende et le diviseur sont terminés par des zéros, on suprrime sur la droite de chacun d'eux le même nombre de zéros, autant que dans celui qui en a le moins, et l'on procède à l'opération sur les deux nombres résultants.
60. Preuve de la division —La preuve de la division se fait en multipliant le diviseur par le quotient ou réciproquement et en ajoutant le reste au produit. Le résultat doit reproduire le dividende.
Nota.—-Nous retrouverons plus loin la preuve de la division par un nombre quelconque.
60bis. Quotient de deux nombres avec une approximation donnée.
Lorsque deux nombres ne sont pas exactement divisibles l'un par l'autre, on appelle quotient approché de ces deux nombres, à moins de € près, le plus grand multiple de # qui multiplié par le diviseur, donne un produit inférieur au dividende, s
I. Soit à chercher le quotient de 453 par 23 à yvv près (= 1055).
D'après la définition, nous devons trouver le plus grand nombre de millièmes qui, multiplié par 23 reproduise un produit inférieur à 4583.
Soient æ et (x+1) les deux nombres consécutifs de millièmes entre lesquels est compris le quotient cherché ; on aura donc :
mu X 23 < 458 < 41 X 23
Le signe < se dit “ plus petit ou égal ”,
En réduisant au même dénominateur :
Et, si nous considérons le quotient par défaut, nous pouvons écrire : x X23— 453000 ou T= c'est-à-dire trouver le quotient par défaut à une unité près de 453000 par 23 ou 19647, et alors
19647 100 = oo — 19,647
Donc pour trouver le quotient de deux nombres à r05 près, par exemple, on écrit trois zéros à la droite du dividende et on effectue la division des deux nombres ainsi modifiés. On aura soin de rendre le quotient obtenu 1000 fois plus petit (53).
IL. Trouver le quotient de 453 par 23 à moins de # près. Nous devons trouver le plus grand nombre de fois # qui
multiplié par 23 donne un nombre inférieur à 453. Soient æet (x + 1) les deux nombres consécutifs de # entre lesquels est compris le quotient cherché. On aura :
ta X 23 <453 < + (x +1) X 23
HER ass Er X 23
æ x 23 < 453 X 5 < (x + 1) X 23 et enfin
a < <(+1) T2 ce qui veut dire qu’il faut chercher le quotient à une unité près de ss ou de 2286 par 23 ; quotient qui est évidemment le même que celui de la partie entière de 564 par 23. Or, ce quotient est 24 à 1 unité près.
Done æ=24 et par suite
4 4x 24 Fu . = 194
