CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ

61. On appelle diviseur exact ou diviseur d'un nombre tout nombre qui le divise exactement.

62. On appelle nombre premier absolu ou nombre premier tout nombre qui n'a d'autre diviseur que lui-même ou l'unité.

63. La Recherche des caractères de divisibilité est basée sur les principes suivants :

64. Principe I. — l'out nombre qui divise exactement . deux ou plusieurs nombres divise exactement leur somme ou leur différence. :

Soient 2 nombres A et B exactement c:visibles par le nombre m. Je dis que (A + B) est divisible par m.

En effet, puisque m divise A et B, on peut écrire

Et ajoutant membre à membre, il vient :

A+B=mQ+mQ=m(Q + Q) d'où À +B us = Q + Q° = nombre entier De même A—B m

Ce qui montre que À + B m

= Q — Q’= nombre entier

= nombre entier.

65. Principe Il.—Tout nombre qui en divise un autre divise tous les multiples de cet autre.

Si d divise À, je dis qu'il divise +» À.

Eneffet.mA=A+A+A............répété m fois

divisant les 2 membres par d, il vient

MA ASE EPACES Se Fi d FR

Or d divise À, donc d divise la somme À + A+A..... c'est-à-dire m A.

66. Principe III.—/* reste de la division d'un tout, composé de deux parties, par un nombre, est le même que ceiui de la partie qui n’est pas divisible par ce nombre.

En effet, soit N=A+B et supposons que la partie À soit divisible par d et que B ne le soit pas ; on aura :

A=dQ B=dQ +R d'où A+B=dQ+dQ+R=d(G+Q)+R donc N=d(Q+Q)+R et l'on voit que le reste R de la division de N par d est le même que celui de la division de B par d.

67. Théorème.—Tout nombre qui n'est pas premier admet un facteur premier.

Soit N un nombre qui n'est pas premier, c'est-à-dire admettant d'autres facteurs que N et 1.

Soit a le plus petit des diviseurs de N. Je dis que a est premier.

En effet, si a n'est pas premier, il admet un diviseur qui nécessairement sera plus petit que lui. Mais ce diviseur de a est aussi diviseur de N, ce qui est contre l'hypothèse, puisque nous avons supposé que a est le plus petit. Donc a est premier,