e Forme

On démontrera comme ci-dessus (72 que la 1ère partie du 2° membre est divisible par (10M +1). Done :

8 Le reste de la division d'un nombre par un diviseur quelconque de la me Purssance de lu buse, augmentée de une unilé, est le méme que celui que l'on obtient en divisunt par ce fucteur lu différence entre la somme des tranches de m chiffres de rangs impuirs et la somme des tranches de m chiffres de rangs pairs.

74. Théorème.—Le reste de lu division par D d'un produit de deux facteurs A X B est le méme que celui de la division par D du produit des restes R°'X R" obtenus en divisant séparémeut À et B par D.

Soient A=DQ+R

et B=DQ'+R Formons le produit A X B = (DQ + R) (DQ'+ R") =D?QQ'+DQR’+DÇR+R'R’

D'où AXB D?QQ+DQR'+DQR+RR"

Les restes obtenus dans les 2 membres de cette égalité doivent être égaux. Or les 3 premiers termes du numérateur

du 24 membre sont divisibles par D; done le reste de À- Li

: sera le même que la partie R’R” par D (67). Ce théorème sert de base à la preuve de la multiplication et de la division par un nombre quelconque.

75. Divisibilité par 2.— Tout nombre est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre de droite est un chiffre pair. a) Application de la 1ère forme du théorème général. 2 est un diviseur de 101 (Are puissance de 10)

Donc dans la règle (71), m = 1 ; d'où Tout nombre est divisible par 2 lorsque la 1ère tranche de droite de 1 chiffre est divisible par 2 ; le reste que l'on obtient est le même que celui de cette tranche de 1 chiffre par 2. b) Soit un nombre 254 = 25 X 10 + 4 La 1ère partie de la somme (25 x 10) est divisible par 2; donc le nombre lui-même sera divisible par 2 si l’autre partie de la somme l'est (principe 1er ).

Donc si le chifire de droite est pair le nombre est divisible par 2.

16. Divisibilité par 5.— Tout nombre est divisible par 6, lorsqu'il est terminé par un zéro ou un 6.

a) Application de la 1° forme de la théorie générale (71) 5 est facteur de 101; donc m=1 Il faut done que la tranche de droite de 1 chiffre soit divisible par 5.

b) Soit un nombre 540 = 54 X 10 : divisible par 5 (principe I).

Soit 545 = 54 X 10 +5 Or 54 X 10 est divisible Par 5 (principe 1) Donc 54X10 + 5 ou 545 sera divisible par 5 si la deuxième partie de la somme est divisible par 5 (principe II).. L . T7. Divisibilité par 4 ou 25.— Tout nombre est divisible par 4 ou 26, lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres de droite est divisible par 4 ou 26. a) Application de la 1° forme.

4 et 25 sont, divisenrs de 10? ; donc m = 2 (71) T1 faut donc que la tranche formée par les 2 chiffres de droite soit divisible par 4 ou 25, b) Soit 636 = 6 X 100 + 36 La 1° partie de la somme (6 X 100) est divisible par 4. Donc le nombre sera divisible par 4, si la 2 partie de la somme est divisible.

Soit 675 = 6 X 100 + 75

6 X 100 est divisible par 25 ; donc 675 le sera si 75 est divisible par 25,

78 Divisibilité par 8 ou 195.— Tout wombre est divisible par 8 ou 125, si le nombre formé par Les trois chiffres de droite est divisible par 8 ou 126.

Application de la 1° forme (71)

8 et 125 sont diviseurs de 1000 ou 10° ; donc m =3

Il faut donc que la tranche formée par les 3 chiffres de droite soit divisible par 8 ou 125.

79. Divisibilité par 9.—Zout nombre est divisible par 9, lorsque la %omme de ses chiffres considérés comme unités simples est un nombre divisible par 9.

a) Application de la 2e forme (72)

9 est diviseur de (101 — 1), done m = 1

Il faut donc que la somme des chiffres considérés comme unités simples soit divisible par à.

b) Soit un nombre 79452 — 2 + 50 + 400 + 9900 + 70000 Or 1l=m9+1 2= m.9 +2

100 = m9 +1 De 400 = m9 +4 1000 = m9 +1 9000 = m 9 +9 10000 = m 9 + 1 70090 — m 9 + 7 et ajoutant il vient

79452 = m 9 + 2+5+4+9+7) Or : m.9 est divisible par 9 ; done 79452 sera divisible par 9 si la 2de partie (2+5+4+9+ 7) de la somme est divisible par 9. Ce qui démontre la règle.