Théorème. — La suite des nombres premiers est illimitée

Supposons, qu'on ait découvert un certain nombre de nombres premiers, et soient 1, 2, 8, 5, 7, 11 et 13, ces

nombres. Admettons Pour un instant qu'il n’y ait pas

d'autres nombres premiers que ceux-là, En effectuunt le

produit P de ces différents facteurs il vient : P=2X3X5X7X11X13

Si (P + 1) est premier, c'est qu'il existe un nombre premier plus grand que 13 ; si (P + 1) n'est pas premier, il admet un facteur premier (67).

Je dis que ce facteur premier est différent de ceux considérés dans le produit P.

En effet, si ce facteur était parmi ceux de P il diviserait à la fois (P + 1) et P et par suite leur différence (P + 1 — P) c'est-à-dire 1, ce qui est impossible ; donc le diviseur premier de (P + 1) est supérieur à 13, ce qu’il fallait démontrer.

69. Pour former la table des nombres premiers, on écrit à la suite des deux nombres 1 et 2, la suite des nombres impairs 8, 5, 7,9, 11, 13 ete. On supprime, dans cette suite, tous les facteurs de 3, ce qui se fait en barrant tous les nombres de 3 en 3 à partir de 3 ; puis, à partir de 5, tous les nombres de 5 en 5 ; et ainsi de suite. Les nombres restants sont des nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes ou l'unité ; donc ils sont premiers.

10. Théorie générale de la recherche des caractères de divisibilité des nombres quelconques par des diviseurs quelconques.

Soit N un nombre quelconque et considérons qu'on ait partugé ce nombre, en allant de droite À gauche, en tranches de m chiffres chacune, la tranche de gauche pouvant avoir 1,2,....(m— ) chiffres ; et soient, toujours en allant de droite à gauche, A, B, C,D ces tranches considérées Comme autant de nombres isolés.

Nous aurons :

-N=A+B x 10m + C x 102» + D'X10%m+,,., (1) représentant le nombre décomposé en tranches de m chiffres. L'égalité (1) peut se mettre sous les formes suivantes :

genes ARE RP Raman cr

1ère Forme.

N=10"(B+0C X 10m + D + 10%m +....) + A Ajoutant et retranchant au 2° membre de (1) B+C+D+...... il vient :

etalors: N=[B(10"—1)+C(10%m—1)+....] +(A+B+C+....) (2e Forme) L'égalité (2) peut s'écrire aussi :

N =[B (10m + 1) + C (10 + 1) + D (10% + 1)....] +(A—B+C—D+....) (8e Forme) 71. lère Forme.

N=— 10m (B+C x 10m + D x 10%M....)+ A La première partie est divisible par 10" ou par un facteur de 10", donc :

1° Le reste de la division d'un nombre par un diviseur quelconque de la m° puissance de la base, est le méme que : que le reste que l'on obtient en divisant par ce diviseur La première tranche de m chiffres à droite.

‘T2. 2e Forme.

N = [B (10m — 1) + C (102 — 1) + 103m —1)+..]+ * (A+B+C+....) La 1 partie du 2° membre est divisible par (10® — 1) ou par un facteur de (10m —1). En effet :

(10 — 1) est divisible par (10 — 1) donc 10" = (10m — 1)+° d'où multipliant par 10", il vient :

102m= (10% — 1) 10m + 10m = (10m -— 1) 10m + (10m —1)+1 et enfin 102m — 1=(10m — 1) 10m + (10m — 1) divisible PRET De même 105%m =102m x 10m ={10"—1) 10m + (10m — 1) + 1}10m 10m = (10% — 1) 102% + (10m — 1) 10m + 10m 105%m = (10m — 1) 102m + (10m — 1) 10m + (10m —1)+1 d'où 10%— 1 = (10m — 1) ,9%n + (10m — 1) 10m + (10m — 1) nombre indivisible par (10® — 1) et ainsi de suite. Donc

2° Le reste de la division d'un nombre par Un diviseur quelconque de la me Puissance de la base, diminué de une unilé, est le même que celui que l'on obtient en divisant la somme des tranches de xx. chiffres par ce diviseur.