Hecherche du p. g. c. d. entre plusieurs nombres
Soient À, B, C, E les nombres proposés.
Soit D ie p.g. c. d. entre A et B
D’ É “ Det C D’ SE “ D'etE
Je dis que D” est le p. g. c. d cherché.
En effet, le p. g. c. d. cherché divise A et B, donc aussi leur p. g. c. d. D; divisant D et C, il divisera aussi leur p. g. © d. D’ et entin étant diviseur de D'et E il est diviseur de leur p. g. c. d. D”.
Donc D”
p.g cd.
D'un autre côté D” divise E et D’. Or D’ est le p.g.c. d. entre D et CO, donc D” divise D et C
D” divisant D divise A et B puisine D est leur p. g. @. d.
Donc puisque D” divise A, B, C et E, il doit diviser leur p. g. c. d. et on peut donc écrire :
= nombre entier (1)
= nombre entier (2)
D” Les égalités (1) et (2) exigent nécessairement que D'=p g.c.d. D'où
Règle.— Lour trouver le p.g. c. d entre plusieurs nombres, on cherche le 0. g. ce d. entre les 2 plus grands, pus le p. g. c. d. entre le p. g. e. d. trouvé et le 3° nombre, et ainsi de suite. Le dernier p. g. c. d. est le p. g. c. d. cherche.
nbres.
si leur ge d, le leur
D'où mbres,
suite.
101. Recherche du P.6.. d. par la décomposition en facteurs. — On décompose les nombres .en leurs facteurs Premiers, et l'on forme un pro’iuit composé de tous les facteurs Premiers communs aux différents nombres et affectés de l'exposant le plus faible,
Il est évident que le nombre ainsi formé est diviseur de tous les nombres Proposés, car il contient des facteurs de chacun d'eux ; de plus, il est le plus grand, car s'i! contenait un facteur commun affecté d’un exposant supérieur à celui qui en a le moins, il ne Pourrait plus diviser celui-ci, (1)
EXEMPLE : Chercher le P.g c. d. entre 140, 1260, 2100.
5 91513 où
Le p. g. c. d. est done 2 x 5 X 7 = 140
$ 3.—Du PLUS rErrr commun MULTIPLE,
102. On entenil Par plus petit commun multiple entre plusieurs nombres, le plus petit nombre qui est divisible exactement par chacun des nombres donnés.
1038. Pour former le P-P.c. m. entre plusieurs nombres, il faut les déco "poser en leurs facteurs Premiers et former un proluit composé de tous les facteurs différents et y entrant autant «le fois que celui des nombres qui en contient le plus de cette espèce, c'est à-dire que chaque facteur doit entrer dans le produit avec l'exposant le plus élevé.
Il est évident que le nombre ainsi formé est multiple de chacun des nombres donnés, car il contient tous les facteurs Premiers de chacun d'eux ; de plus, il est le pius petit multiple ; cur on ne Pourrait supprimer un seul de ces facteurs sans qu'il cessât dêtre divisible par celui des nombres qui en contient le plus de cette espèce, (1)
(1) Voir les conditions de possibilité de la division dur Monûtme par un monôme en algèbre.
Soit à chercher le p. p. e. m. entre 315, 60, 40, 36. 31513 6012 4012 361,2
Lep.p.ce.m.=8 x 2% X 5 X 7 = 2520.
104. Recherche du p p c. m. de 2 nombres à l’aide du p g.c.d.
Le p. p. c. m. de 2 nombres est égal au quotient du produit de ces deux nombres par leur p. g. c. d.
Soient A et B deux nombres et D leur p. g. c. d.
ee re } Q et Q' étant premiers entre eux.
Soient Am un‘multiple de À et
Br de “ B on aura Am=mDQ et Bm'=mDQ Pour que le multiple soit commun aux deux nombres, il
faut que mDQ=mPQ () ou mQ=mQ" Or, Q divise m Q, donc aussi m'Q) ; et, comme il est premier avec Q, il doit diviser m” Done m=QKk K étant le quotient de m par Q.
Remplaçant m’ par sa valeur dans (1), il vient : mDQ=QKDQ (2) valeur d’un multiple quelconque de A et B qui devient en y remplaçant
Q et Q par leurs valeurs È et 5
ds B AB QKDQ 5" KXDX-; Se. X K (3)
Le commun multiple (3) deviendra le plus petit commun multiple en donnant à K la plus petite valeur, c'est-à-dire 1, et alors (3) devient
AB
Ce qui démontre l'énoncé.
l’aide
roduit
bres, il
premier
ir Q.
ur d'un plaçant
commun à-dire 1,
