FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES

154. Lors de la division du numérateur par le dénominateur d’une fraction irréductible, il peut se présenter 3 cas :

1° La division se fait exactement et le quotient a alors un nombre limité de chiffres. Ce cas donne lieu aux fractions décimales ordinaires. .

2° La division ne se fait pas exactement et le quotient contient un nombre illimité de chiffres, se reproduisant périodiquement à partir du premier chiffre décimal. Ce cas donne lieu aux fractions décimales périodiques simples.

20 Mn RARE à USE RTS nd 8

3 La division ne se fuit pas exactement et le quotient contient un nombre illimité de chiffres dont une partie seulement se reproduit périodiquement. Ce cas donne lieu aux fractions décimales périodiques mixtes.

155. Voyons duns quel cas. on peut reconnaître qu'une fraction ordinaire irréductible donnera une fraction décimale ordinaire, une fraction décimale périodique simple ou une fraction décimale périodique inixte.

1° Toute fraction ordinaire irréductible : dont le déno-

minateur ne contient pas d'autres facteurs premiers que ceux de la base (2 ou 5) donne lieu à une fraction décimale ordinaire.

Le nombre des chifires décimaux est marqué par le plus grand exposant du facteur 2 ou 5 contenu dans Île dénominateur de la fraction. ;

ExemeLe: 2=06 ; à = 25 — 0,625

2œ Toute fraction ordinaire irréductible à dont le dé-

nominateur me contient pas de facteurs premiers contenus dans la base, donne lieu à une fraction décimule périodique simple.

a) La partie décimale est illimitée, En effet, le dénominateur étant premier avec la base, en multipliant le numérateur par 10 et des puissances de 10, on n’introduit que les facteurs 2 et 5 premiers avec le dénominateur. Donc lu division ne pourra jamais se faire exuctement

b) La partie décimale est périodique. En effet, comme tous les restes doivent être plus petits que le diviseur et en nombre indétini, il faudra qu'après un certain nombre de divisions < (D-1) au maximun + les restes se représentent et : aussi les quotients (La période est l'ensemble des chiffres qui se reproduisent périodiquement).

Exemrie: ; = 0,571428 571428 CT CEE à

8 Toute fruction vrdinuire irréductible, ÿ dont le dénominateur contient, outre des Jacteurs premiers non contenus duns la base, des facteurs de La buse, donne lieu à une fraction décimale périodique mixte (composition des cas 1° et 2°) Le nombre des chiffres non périodiques est déterminé par le plus grand exposant du facteur 2 ou 5 contenu dans le dénominateur; le nombre des chiffres périodiques (fournis par les facteurs premiers avec la base) est égal au maximun à autant d'unités moins 1 qu'il y en a dans le facteur premier avec la base.

EXEMPLE : Fre