A.—PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES
272. On appelle progression arithmétique ou par diffé rence, une suite de nombres tels que chacun d'eux surpesse celui qui le précède ou en est surpassé d'une quantité constente appelée raison de la progression.
Ces différents nombres s'appellent les termes de la progression.
278. Pour indiquer que des nombres font partie d'une progression arithmétique, on les écrit les uns à la suite des autres en les séparant par un point et en les faisant précéder du signe +
Exemple : + 4.7. 10 13. 16.19.22........
274. La progression est croissante lorsque les termes vont en croissant : La raison est alors positive.
La progression est décroissante lorsque les termes vont
- en décroissant : La raison est alors négative. l
275. Er général, nous désignerons les termes d'une progression arithmétique par les lettres a. b.c....i. k. l, la raison positive ou négative par r et le nombre des termes par n.
+ a.b.c....ùkl
276. Théorème I.—Duns toute progression arithmétique, un terme de rang quekconque est égal au premier plus autant de fois la raison qu’il y a de termes avant lui.
D'après la définition des progressions .le 2° terme b=a+r le 3 terme c=b+r=a+r+r=a+2r le 4 terme d=c+r=a+2r+r=a+3r et ainsi de suite. En général, le terme À qui en a (n—1) devant lui est donc égal à : ti l=a+(n—Dr (1) Cette formule permet de déterminer un des éléments a, l, n, our quand les 3 autres sont donnés.
En effet, on tire : de (1) a=l—(n—1}r (2) , 6
d'où n= + (4)
2717. ExempLe.— Soit la progression arithmétique +-2, 6. 10. 14. 18....
l Trouver le 20° terme de cette progression.
La formule (1) donne I=a+(n—1)r dans laquelle a=2, m=20 etr—4 d'où
2 Trouver la raison d’une progression arithmétique, dont
le 1° terme est 2, le dernier 78 et le nombre de termes =20 : I=a 18—2
La formule (3) donne r=—5=-55
% Trouver le nombre des termes d’une progression arithmétique dont le 1° terme —2; le dernier —78 et la raison =4
La formule (4) donne n= +1 41e 20
278. Théoréme II —Dans toute progression arithmétique limitée, la somme de deux termes à égule distance des extrêmes est constante et égale à la somme des extrèémes.
Soit la progression <+4.b.c......x æ ayant p termes devant lui et y ayant p termes après lui.
D'après les formules (1) et (2) on a:
T=a+pr (m) y=l—pr (n)
Ajoutons (m)et (n), il vient: æ+y=at+l (5)
279. Théorème II — La somme des termes d'une progression arithmétique est égale au produit de la demi-somme des termes extrêmes par le nombre des termes.
Soit la progression a. b.c......i.k.l et # le nombre des termes. Appelons S la somme, il vient: ,
S=a+b+c+....i+k+l et aussi S=l+k+i+....c+b-+a
Ajoutons ces deux égalités membre à membre.
28 (a+li+(b-+k)+(c+i)+ Cite) +(E+b)+ (+2) :
Or les différentes parties (a+l), (b+k)....sont toutes égales à (a+) (Théorème II.) Leur nombre est celui des termes de la progression c’est-à-dire=n.
On aura done 2S=(a+l)n d'où
Gin (@)
279vis, Autre forme de la valeur de S.
Remplaçons dans (6), L par sa valeur &+(n—1)r il vient :
a -1 2a+(n—1)r = = LAURE HET x
Cette forme est utile lo:squ'on ne donne pis le dernier terme de la progression et que l’on connaît le 1° terme, la raison et le nombre des termes-
Elle évite la recherche de L.
Insertion de moyens arithmétiques.
280. Insérer un certuin nombre de moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, c'est former une progression par différence dont les nombres donnés soient Les termes extrêmes et dont les moyens insérés soient les termes intermédiaires.
Supposons que l'on demande d'insérer m moyens arithmétiques entre 2 nombres a et b. La question revient à chercher la raison de la progression dans laquelle il y aurait (m+2) termes. Or, la formule Z=a+(n—1)r nous donne pour ce cas, b=a<+(n:+1}r d'où l'ontire r— Et (7)
On obtient donc la raison de la progression en divisant la différence entre les 2 nombres donnés par le nombre des moyens à insérer plus un.
281 Théoréme III—Si entre deux termes consécutifs d'une progression arithmétique, on insère le même nombre de moyens, les progressions partielles ainsi obtenues forment une seule et:même progression.
Soit à insérer m moyens arithmétiques entre G aetb, betc; cet d......de la progression
.dont la raison est r
Les raisons des progressions partielles sont, en vertu de la
formule (7) ba c—b d—c r MEL ME mel ml
D'ailleurs, le dernier terme de chacune de ces progressions est le premier terme de la suivante. Donc on peut considérer cette suite de progressions comme n’en formant qu'une seule,
Applications
282 I. Trouver la somme des 32 premiers termes de la progression ‘ +2. 6.10.1418...... É L'application de la formule (6) nous donne
St, n
Il faut donc d’abord rechercher le dernier terme. On a en vertu de (1) {=a+(n+1}r=2+31x 4=126 D'où sit
