II. Soit à insérer 10 moyens arithmétiques entre 5 et
La raison de la progression est donnée par MORE mi i0+I Ii La progression est —+5. 8,11. 14.17.....,32. 35.38.
B.—Progressions Géométriques.
283. On appelle progression géométrique ou par quotient une suite de nombres dont chacun est égal au précédent multiplié par un nombre constant que l’on appelle la raison de la progression.
284. Lorsque la raison est plus grande que l'unité les termes vont en croissant et la progression est croissante.
Lorsque la raison est plus petite que l'unité, les termes vont en décroissant et la progression est décroissante.
285. Pour indiquer que des nombres font partie d’une progression par quotient, on les écrit les uns à la suite des autres en les séparant par 2 points et en les faisant précéder du signe ++
286. En général, nous désignons les termes d’une progression géométrique par a, b, c i,k,l; par n le nombre des termes et par Qq la raison, de sorte que l’on aura.
i #Ha:ibie......iikil .@)
287. Théorème 1.--Duns toute progression géométrique, ‘un terme de rang quelconque est égal au premier terme multiplié pur la raison élévée à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent.
Soit une progression (1). D'après la définition des progressions géométriques on a:
le 2 terme b—agq le “ c=bq—aq" leæ “ d—cq=u" et ainsi de suite lent “ =agr-1 (2) Cette formule (2) nous permet de déterminer l’une des quantités a, b,q,n conn issant les 3 autres.
à l=aqgn"1
Un Li de 10) Ée T mt La formule donnant la valeur de n ne peut être résolue
qu’à l'aide des principes sur la théorie des logarithmes.
288 Théorème II.—Les termes d'une progression géométrique décroissante tendent vers zéro.
La raison, étant plus petite que l'unité, peut être représentée par à par exemple, et alors un terme qui en 4 n avant lui est
représenté par
l=ax Q)' =
Si le nombre des termes croît indéfiniment, le facteur g"
devient infiniment grand, et par suite, la fraction © devient
infiniment petite et se rapproche d'autant pius de zéro que le nombre des termes est plus grand.
289. Théorème IV.— Dans toute progression géométrique le proc vit de deux termes à égale distance des extrémes est égal au produit des'extrémes.
Soit la p.g. #a:b:e....æ....y....iik:l.
dans laquelle x a p termes devant lui et y, p termes après lui.
En vertu des formules (2) et (3) on a :
Muitiplions membre à membre ces deux égalités, il vient : 2y= = al (5)
290. Théorème V.—Le produit des termes d'une progression géométrique est égal à la racine carrée du produit des extrêmes élevé à une puissance marquée pur le nombre des termes de la progression.
Soit la p. g æua:b:c....i:k:l. de n termes.
Appelons P le produit des termes.
P=axbsr....ixtxl et aussi P=lxkxi....ëxbxa :
Multiplions membre à membre, il vient :
P'=(al)X(bk)X (ci)... (ic) X(kb) X(La) Or les produits entre parenthèses sont égaux entre eux et .à (al) (Théorème IV) et, comme ils sont en nombre-n» on a:
Pr=(ay doù P=y(a (6)
291. Théorème VI.—La somme des termes d'une progression par quolient est égale à une fraction dont le numérateur est l'excès du produit du dernier terme par la ræison gur le 17 terme,et le dénominateur l'excès de la raison sur l'unité. :
Soit S la somme de la progression
S=a+b+e+...ithtl (1) Multiplions les 2 membres de cette égalité par q, il vient : Sq=ag+bqg+eqg+....ig+kq+lq. (2) mais ag=b,bg=c;cq=d;....ig-k;kq=l
Et alors (2) devient :
Sg=b+c+d....+k+l+lq (3)
Retranchant (1) de (3) il vient :
Sqg—S=lq—a
S(q—l=lg=a S= 4 2 0 291t#, Autre forme de la valeur de S.
Remplaçons dans (7), L par sa valeur ag"! il vient : ù
agn"1xXq—a ag"—a a(gn—1) S= SRE CO 1 (7) Cette forme est utile lorsqu'on ne donne pas le dernier terme de la progression. Elle évite la recherche de L.
Remarque.—Si la progression est décroissante, la formule
devient S= ms qui tend vers la limite S= 2 (8) lors- 1—q 1—g
que la progression décroît infiniment.
Insertion de moyens géométriques.
992. Insérer un certain nombre de moyens géométriques, entre deux nombres donnés, c'est former une progression par quotient, dont les deux nombres donnés soient les extrémes et dont les moyens insérés soient les termes intermédiaires.
Soit à insérer m moyens entre deux nombres a et b.
La progression ainsi formée a done (m+2) termes dont a et b sont les extrêmes ; la raison de cette progression est
m+1 /b donc qg= NE (formule 4).
On obtient done la raison en extrayant du quotient des deux nombres donnes une racine ayant pour indice le mombre des moyens à insérer plus un.
998. Théorème VII—Si entre deux termes consécutifs d'une progression géométrique, on insère le sème nombre de moyens, les progressions partielles ainsi obtenues forment une seule et méme progression.
Supposons que l'on ait à insérer m moyens “ntre chacun des termes a, b, c... .d’une progression géométi1que.
La raison de la prog. entre « et b est
et ainsi de suite.
m+i —....=q doncg'=qg'=q"=..,.— V4 (9) D'ailleurs le dernier terme de chacune de ces progressions est aussi le 1°° terme de la suivante, On peut donc considérer toutes ces progressions comme n’en formant qu’une seule,
Applications.
294. Soit la progression géométrique #2:6:18:54:162 1° Tronver le 12° terme de cette progression. La raison=3 et ona [—=2X3!—354294 2 Le dernier terme d'une progression géométrique étant 354294, la raison 3 et le nombre de termes 12, donner le 1°" terme u 354294 Tant iii & Déterminer la somme des 12 termes de la progression. S lg—a 354294X3—2
