B.—PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

301. Théorème I.—Le logarithme d'un produit de plusieurs facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs.

+ Soient « et b deux nombres faisant partie d’une progression gévmétrique croissante, ayant respectivement m et n termes devant eux.

On aura a=q"

b=q" le 1° terme de la progression étant 1

D'où axXb=q"+"

Supposons que mr et nr soient les termes de la progression arithmétique correspondants à g" et g" de la progression géométrique : On aura

log a=mr logb=nr D'où log a-+log b=mr+nr=r(mt+n)

Re A TE

ee rer

Or le terme (m“—-n}r est, dans la progression arithmétique, le logarithme du terme g"+" de la progression géométrique.

Alors log gm+" =(m+n}r Et par suite log (aXb)=log a +log b.

” 802 Théorème 12. —Le logarithme d'un quotient est égal à la différence des logarithmes du dividende et du diviseur.

Soit = Q le quotien donné, d'où a=bQ.

En vertu du théorème I, on a : log a=log b+log Q d'où: log Q=log a—logb c'est-à-dire log G=I08 a—log b

803. Théorème II.—Le logarithme d'une puissance d'un mombre est égal au logarithme du nombre multiplié par l'exposant de la puissance. ë

Soit am une puissance dont il faut chercher le logarithme.

On a am=axaxaxæ (répété m fois)

En vertu du théorème I, on a :

log am=log a+log a+log a répété m fois)

Donc log am=m log a ;

804. Théorème IV.—Le logarithme de la racine d'un mombre est égal au logarithme du nombre divisé par l'indice du radical.

Soit Ve=t d'où a=bm ét par suite du Théorème III

log a=m logb d'où log a m

log b=

Or, log b=log{{a: done log Ne .