FT

exemple, £ mois=;, d année.

Alors les formules deviennent :

Ait 1200X .__ 1200X X=— = ————— cp 106 = % ET 821. Si le temps donné est un nombre de jours, il suffit de remplacer, dans les formules, t en fraction d'année. Ainsi, par exemple, £ jours= d'année. On admettra 360 jours

pour l’année commerciale.

Les formules deviennent ulors :

X= Ait —36000X à = 360v0X #= 36000X 36000 it At Ai Si le temps est donné en année, mois et jours, on le transforme complètement en jours.

821%. Problème.— Trois associés ont mis dans une entreprise : le premier 8000 frs pendant 10 mois, le second 12000 frs pendant 6 mois et le troisième 5000 frs pendant 13 mois, Le bénéfice a été de 17360 frs. Quelle est la part qui revient à chacun (Le taux de l'intérêt étant fixé à 60/0)

Intérêts de 8000 frs pendant 10 mois= 400

Re MAR 6 «= 20

be “25000 : =1085 Il reste done à partager proportionnellement aux mises la . somme de 17360—1085—16275. Ce partage donne : 16275 X 8000 zou — 3208

< 16275X5000 dE T7 2e 2255

Pour le 1° associé

Pour avoir la part totale de bénéfice, on ajoutera aux parts précédentes la part de bénéfice provenant de l'intérêt de la somme placée.

Ainsi le 1° associé aura 5208+400— 5608 UT "78124360 = 8172 ge nt “82554325 3580

Total des bénéfices = 17360

B.—InrTéRÊTs Composfs.

faire valoir conjointement avec la somme primitive pendant l'année suivante, Soit A le capital placé et X ce capital aceru des intérêts n la durée du placement 4 le taux °) et r l'intérêt de 81 pendant 1 an ; alors î 7 100 Si $L rapporte r par an, A rapporte Ar donc au bout de Ja 1ère année, le capital est devenu : A+Ar=A(1+r)=A De même, au bout de la 2 année, le capital A’ placé dans les mêmes conditions que A, produit A’r et devient au bout de cette année :

À'+A'r=A"(1+r)=A(1+r) (1+r)=A(1+r)" = A" Ce nouveau capital A”, placé dans les mêmes conditions pendant la 3° nnnée, prodnit A”r et devient donc : A"+A"r=A"(1+r)=A(1- r)° et ainsi de suite, de sorte qu'au bout de n années, le capital accru de ses intérêts, sera devenu, par analogie : X=A(1+r} (1) 822b, Si au lieu de supposer l'intérêt dû seulement 1 fois par année, on le suppose dû # fois par année au taux

r ‘ ; re de j par intervalle, le capital A, accru des intérêts se coin- (3

posant de } d'année en k d'année devient, au bout de

n années :

323 Cas où le temps comprend une fraction d'année. Supposons que la durée du prêt soit de n années et k jours. On calcule d'abord ce que devient le capital pendant les n années, La formule (1) nous donne X'=A(1+r) puis on considère ce nouveau capital comme placé à intérêt simple pendant les & jours.

Or #1 rapporte en 365 jours r 0] « SA 2 x ; 365 « LL rk 1 k ET Donc au bout de ce temps $1 devient (1 +3) et A(1+r}" devient au bout du même temps

X=A(1+ry (+35) (2)

824. Les formules (1) et (2) nous permettent de calculer une des quatre quantités À, X, i ou mn, les trois autres étant connues. \

De (1) on tire successivement :

X n/X log X—Ilog A X=A(1+r): Aie: (= 4/5: TEE : (3) (4) (5)

825. Problème I Quelle est la valeur après n années d'un capital A placé à intérêt composé et au taux r ?

La formule (1) duune X=A(1+r)n

Application : n=7 ans ; A=12540 i=50),

X=12540 (140.05) =12540 (1.05)" log X=log 12540 +7 log 1.05 log 12540 - 40982975 7 log 1.05—0.1483251

log X = 42466226 X=$17645,04 Problème II.—Quelle somme faut-il placer à un taux donné » pour obtenir une somme X après n anrfées ?

La formule (3) donne Aire Application : X = 24600 : n =12 3 1=4.750),

log A=log 24600—12 log 1.0475 log 24600= 4,39! 135?

12 log 1,0475= 0,2+18480 log A= 41490871 A=$14095,70 Problème III—Un capital a été placé aujourd'hui, il

produira une somme X dans n années. Quel est le taux de l'intérêt ? ;

La formule (4) donne ANR

Application : A=28895 ; X=250000 ; n.73

13 |950000 (1+r)= Fr

log 250000=5,3979400 log 28895=—4,4608227

0,9371173 log (+= TT 0018872 (+r)=103 r-0,03 i=3,, Formules de placement ou de dotation.

‘Problème IV.—Une personne place chaque année une somme & à intérêt composé, pendant n années. Le taux étant r, quelle somme cette personne retirera-t-elle au bout du temps déterminé ?

1° La somme est placée au commencement de l’année.

La somnie a, placée au commencement de Ja 1ère année, devient & (1+r}" au bout de n années ;

La même somme, placée au commencement de la 2e année, devient a (1+r)°-! au bout du temps du placement, et ainsi de suite

La somme «, placée au commencement de l'avant-dernière et de la dernière année, correspond respectivement à a(1+r) et a(1+r).

Le montant total est donc

À Sa (1) [14 (147) + (1) + (m2 (ln) 1] CARTELS LES (COR EEE TIPUT (CEE EN 2 La somme à est placée à Wu fin de chaque année.

La suite sera : '

S=a[1+(+r)+ (14)... +(L+r) 2 (rh -1]

g 4 [G-+r 1 (1+r)—1 =41G+nn—1] @) 1+7—1 r

Remarque I. —Les formules (6) et (7) se déduisent l’une

de l’autre, car il est facile de voir que

S=S"(1+r) donc Re

NT Remarque IL—Les élèves confondent souvent cette

question de placement ou de dotation avec la question des

annuités,

On doit, à la rigueur, appeler annuité tout versement fait annuellement quelqu'en soit le but ; mais, on réserve plus spécialement ce nom à l'usage qu'en indique le paragraphe suivant.

$ 2.—DEs ANNuITÉS.

826. On entend, d'une façon générale, par annuîté le paiement annuel au moyen duquel l'emprunteur éteint sa dette, capital et intérêts, au bout d'un certain nombre d'années.

L'annuité entendue dans ce sens, c'est-à-dire comme remboursement s'effectue toujours à L& Jin de l'année.

Si l'on paie annuellement une rente qui surpasse l'intérêt, on diminue peu à peu sa dette et l'on parvient à s'en libérer complètement au bout d'un temps plus ou moins long. C'est cette sorte de rentes qu'on appelle rentes à termes ou annuités. La portion de l'annuité (somme payée annuellement) qui représente un acompte sur le sapital emprunté s'appelle amortissement.

EXEMPLE : Une somme de 834600 empruntée pour 51 ans est remboursable par annuités de 81600,56, l'intérêt étant de 4/0.

La partie des $1600,56, qui représente un ncompte sur la somme de 834600 empruntée, est l'umortissement, L'autre partie correspond à la portion annuelle de l'intérêt,

Ces deux parts ne sauraient être tixes ; elles varient d'une année à l’autre pendant le remboursement, mais leur somme est fixe : $81600,56 dans le cus' de l'exemple.

Les annuités sont variables on fixes.

Les annuités variables consistent en paiements annuels différents. Les seules variations d'annuités qui offrent un intérêt pratique sont celles qui ont une base fixe ; les annuités irrégulièrement variables ne constituent pas un mode spécial de remboursement, Un exemple très simple d'annuités régulièrement variables est celui où l'annuité se compose d’un amortissement tixe et d'un intérêt décroi-sant.

Les annuités fixes sont des paiements annuels toujours égaux au moy .a desquels on amortit, au bout d'une certaine période de temps, un emprunt fait à un taux déterminé.

En langage finantie:, on appelle amortissement l'ensemble des institutioris et des opérations qui ont pour but d'éteindre une dette publique.

Dans un sous restreint, il s'applique au système de remboursement qui repose sur l'emploi de l'intérêt composé.