Formule générale

Uné personne emprunte aujourd'hui une somme À pour n années au taux de r pour 1 piastre (io) ; pour s'acquitter, elle paie, à la fin de chaque année, une somme déterminée X

(RFO US us + US LA PERRE 2 SEE

dis

calculée de manière qu'après n paiements égaux à X, elle ait remboursé capital et intérêts compris.

Si l'emprunteur attendait la fin de la n° année pour upérer le remboursement, il devrait à cette époque, en vertu de la formule des intérêts composés :

Mais il paie, à la fin de la 1°r° année, une première somme X ; il avance donc ainsi le remboursement partiel de (n—1) années. Or, pendant (n—1) années, cette somme X aurait produit X(L+r)"-1, Il libère donc sa dette de X(1+r)"-1 et il ne doit donc plus que :

De même, la somme X payée à la fin de la 2 année, libère l'emprunteur d'une somme équivalant, au bout de (n—2) années, à X(1+r)"-2; il ne doit donc plus, au bout de la 2° année, que

A (1+r)2X (1+r)n-1X (1 +r)n-2 et ainsi de suite; de sorte qu'à la fin de l'avant-dernière année, il rembousera une somme X qui vaudra à la fin de la dernière année X(1+r). Enfin, à la fin de la dernière es il rembourse X et sa dette est épuisée.

Donc on peut écrire que :

A(+rP X(L+r)n-1 X (1+r)n-2,,,,X(1+7)-X=0

A(l+r}=æX (l+r)}-14+X (tr 24... +X(1+r)+X

ACL+r)P=X [(Ltrp-1+(lerm-2+...,.+(l+r)+1]

La quantité entre crochets est la somme des termes d'une progression géométrique dont le premier terme est 1, le dernier (1+r,n-1, et la r.son (1+r). (N° 291)

ga (+r)n-l = ——

A+ ex CUT d'où enfin :

X= Ar (1+r)n

Cette formule permet de trouver une des quatre quantités À, r, X ou n lorsqu'on connaît les trois autres.

On remarquera toutefois que la résolution de la formule (1), par rapport à r, donne une expression de (n+1} degré que l'on ne peut résoudre que par des procédés particuliers.

On arrivera à une valeur suffisamment approchée de r par

‘ une suite de tâtonnements convenablement dirigés.

828. Problème I.—Quelle annuité X faut-il payer à la fin de chaque année pour amortir en n années un emprunt donné A et ses intérêts composés, le taux étant de » pour 81 ?

La formule (1) donne Xe D

log X=log At log r+n log (1+r)-log[(1+r)"—1] Application : A=34680 ; n=51 ans ; i=4, Calcul de (1+r}—1 log (1+r)"=n log (1+r)=51 log (1,04)=0,8686983 (1+r)51==7,8909 ; (1+7r)°'—1=6,3909 34600 X0,04X7.3909 Problème II.—On emprunte aujourd’hui une somme A au * taux r et l'on veut la rembourser au moyen d'annuités égules à X. Pendant combien de temps devra-t-on payer ? La formule (1) donne :

X . log X—log (X--Ar Aire d'où ne ES Han ) Ce problème n’est possible que si (X—Ar) est positif, car les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes rée!s, Si X=Ar, la formule devient ne ETES

et comme log 0=—%x on en déduit :

Donc si X=—Ar, c'est-à-dire si l’emprunteur ne paie, à la fin de chaque e:.1ée, que l'intérêt simple du capitel, il doit toujours le capital et sa dette ne s'éteindra jamais, Ce cas est celui des rentes perpétuelles,

Application : A=260000 ; X=10000 ; i=3,25%/0 nt Æ X=—log (X—Ar) log 10000 — log 1550 log (1+r) log 1,0326

log 10000==4,0000000

log 15502=3,1908817

log 1,0325=0,0138201 0,8096683 n= TE 501 = 58,29

‘On devra donc effectuer 58 annuités de 810000 plus

les 1 d'une annuité soit 82900.

Problème III.—Quelle somme A peut-on emprunter aujourd'hui en offrant de la rembourser en n années, par annuités égales à X, le taux étant de r ?

La formule (1: lonne ann

Application : X=825 ; n=37 ; taux &},

Culeul de (1+r}° n log (1+r)=37 log (1,04) =0,6302321 (1+r)=4,2681 (+7) —1=3,2681 825 X 3,2681

Dès lors A grxa See 815792,80