Une fraction est une ou plusieurs parties de
l'unité divisée en un nombre quelconque de parties égales.
Par exemple, si l’on partageait une pomme en 5 parties égales, chaque morceau exprimerait une fraction de la pomme, et se nommerait un cinquième; si on en prenait trois on aurait trois cinquièmes, etc.
On représente les fractions par deux nombres placés l’un au-dessous de l’autre, et séparés par un trait. Ainsi un cinquième s'écrit +, trois cinquièmes s’écrivent +.
76. 11 y a trois sortes de fractions: 19°. les fractions absolues; 2°. les fractions vulgaires ou relatives; 3°. et les fractions décimales, (voyez 3° partie.)
77. Les fractions absolues sont celles qui se représentent par deux nombres comme #, $, etc.
78. Les fractions relatives sont celles qui ont un nom qui leur est propre et qui sont des subdivisions des poids, mesures, etc., comme les pieds à l'égard de la toise, etc.
79. Les fractions décimales sont des parties de l’unité qui sont de dix en dix fois plus petites les unes que les autres. \
80. Pour lire une quantité exprimée en fractions absolues, on lit d’abord le terme supérieur, puis le terme inférieur, en y ajoutant la terminaison ième.
Ainsi 4 se lit un cinquième; #4 quatre cinquièmes; 4 sept huitièmes, etc.; sont exceptées celles dont le dénominateur estun des chiffres 2, 3, et 4, comme #, # #, qu’on lit une demie, deux tiers, trois quarts.
81. Le terme supérieur d’une fraction se nomme numérateur, et le terme inférieur, dénominateur.
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82. Le numérateur indique combien la fraction contient de parties de l’unité, et le dénominateur en combien de parties égales l’unité est divisée.
Ainsi cette fraction # indique que l’unité est partagée en quatre parties égales, et qu’on en a trois.
83. De ce qui précède il suit que la grandeur d’une fraction dépend du nombre des parties du dénominateur comparées aux unités du numérateur.
Ainsi la fraction # est plus grande que la fraction 3; en effet la première contient 4 parties d’une unité divisée en 7, et la seconde ne contient que 3 de ces parties, la fraction & est plus grande que la fraction -., car dans le premier cas, on a trois parties d’une unité divisée en 8; dans le second, on a aussi trois parties, mais l’unité étant divisée en 16 parties, elles sont plus petites.
Ainsi: 1°. Plus le numérateur d’une fraction est petit, le dénominateur restant le même, moins la fraction a de valeur;
2°, Au contraire, plus le dénominateur est petit, le numérateur restant le même, plus la fraction a de valeur;
3°. Lorsque le numérateur égale le dénominateur, la fraction égale une unité ;
4°, Lorsque le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que l’unité;
5®, Lorsque le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que l’unité.
84. Deux fractions exprimées par des termes différens peuvent avoir la même valeur, pourvu que le rapport soit le même entre le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, par exemple ? équivalent à £, car le rapport de 2 à 4 est le même que celui de 3 à 6, c’est-àdire que 2 est la moitié de 4 comme 3 est la moitié de 6; chacune de ces fractions exprime donc la moitié de
l’entier et pourrait s’écrire À.
85. On peut donc multiplier les deux termes d’une fraction par un même nombre sans en changer la va-
leur.
Supposons, par exemple, qu’on multiplie par 3 les deux termes de la fraction # on aura 1%, fraction équivalente à la première. 1 En effet, en multipliant le dénominateur seul, nous aurions +; f fraction 3 fois plus petite que la précédente, puisque dans # l’uls nité a été divisée en 5 et qu'on en a 4 parties, et que dans +, l’unité est divisée en 15, nombre trois plus grand; chacune de ces dernières parties n'est donc que le‘ tiers de celles de la premièro fraction, et comme on n’en a que le même nombre, on n’a donc que le 4 de la fraction primitive; mais si on multiplie aussi le numérateur 4, dans la fraction -#-, par 3, on aura 13, fraction qui égalo trois fois #4, puisque dans 12, on a 12 parties de l'unité partagée en 15 et que dans l’autre on n’a que 5, c’est-à-dire le tiers de ces mêmes parties, Mais puisque la frac:ion # égale le à de #, et qu’elle est aussi le + de 12, 12 égale donc ;; donc, etc.
Questions sur les Fractions.
75. Qu’est ce qu’une fraction?—76. Combien y a-t-il de sortes de fractions ?—77. Qu'est-ce qu’unefraction absolue?—78, Qu’appelle-t-on fraction relative?—79. Qu'appelle-t-on fractions décimales ?—80, Comment lit-on une fraction ?—81., Comment nomme-t-on les deux termes d’une fraction?—82, Que marquent les deux termes d’une fraction?—83. De quoi dépend la grandeur d’une fraction?—84. Deux fractions peuvent-elles avoir la même valeur, quoique exprimées par des nombres différens?—85. Change-t-on la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre?
Réductions des T'ractions.
86. Les réductions des fractions sont divers changemens qu’on leur fait subir, sans que pour cela elles changent de valeur.
87. Les principales réductions sont au nombre de quatre: 1°, Réduire des entiers, ou des entiers et des Aractions, en une seule fraction.
l’une a va-
termes mière.
ons TG 3; 4 l’u- #5 lu: de ces ‘emièro onc que uméraai égalo artagée s de ces de Le et
2°. Réduire des fractions en entiers, lorsqu’elles en contiennent,
8°, Réduire les fractions à leur plus simple expression.
4°, Réduire les fractions au même dénominateur. Première réduction.
88. On réduit des entiers en fractions en les multipliant par le dénominateur donné. Lorsqu'il y a une
fraction jointe aux entiers, on ajoute le numérateur au produit.
Premier exemple.
On demande combien il y a de quarts dans trois entiers.
Un entier contient 4 quarts; 3 entiers contiendront
donc 3 fois 4 quarts; donc, pour résoudre ce problème, il faut multiplier 8 par 4: on aura pour réponse 1£.
Deuxième exemple.
Réduire 18 entiers 3 en une seule fraction.
D’après ce qui vient d’être dit chaque entier donnera 8 huitièmes, les 18 donneront donc 18X8=1#4, plus 8 qu’on avait d’abord= #7.
Exercices sur la première réduction.
P. 563. On veut réduire 7 entiers en quarts, combien y en aura-t-il?
P. 564. Réduisez 9 entiers # en sixièmes.
P. 565. Réduisez 28 15 en une seule fraction.
P. 566. Réduisez 10 enticrs 5 en une seule fraction.
P. 567. On désire réduire 9 entiers en neuvièmes: quel en sera le total?
P. 568, On veut réduire 20 entiers en dixième: combien en aura-t-on?
P. 569. Dites le total de six unités réduites en quinzièmes.
P. 570. Combien y a-t-il de huitièmes dans 24 entiers #?
P. 571. Combien y a-t-il de douzièmes dans 51 entiers +}?
P. 572. Combien y a-t-il de septièmes dans 15 entiers +?
P. 573. Réduisez 34 + en une seule fraction.
P. 574. Savoir le nombre de demies qu’il y a dans 81 entiers À.
P. 575. Dites combien il y a de tiers dans 7 entiers?
P. 576. Dites le nombre de quarts qu’il y a dans £0 entiers +.
Deuxième réduction preuve de la première.
89. Pour réduire les fractions en entiers, lorsqu'elles en contiennent, il faut diviser le numérateur par le dénominateur, le quotient donnera les unités; le reste, s’il y en a un, sera le numérateur d’une fraction qui aura pour dénominateur celui de la fraction primitive.
Premier exemple.
On demande combien il y a d’entiers en 1?
Quatre quarts égalent un entier; 12 quarts valent donc autant d’entiers qu’il y a de fois 4 dans 12: donc, pour résoudre cette question il faut diviser 12 par 4.
12| 4 à es
Rép. 3
a dans
ntiers ?
a dans
valent donc, ar 4,
Deuxième exemple.
Combien y a-t-il d’entiers dans !}7?
# égalent un entier; la fraction proposée contient donc autant d’entiers qu’il y a de fois 8 dans 147; pour avoir la réponse, il faut donc diviser 147 par 8, et le reste, s’il y en a un, sera le numérateur d’une fraction qui aura pour dénominateur celui de la fraction primitive.
el 8 67|—- 3|183
Ces exemples servent de preuves à ceux de la réduction précédente et réciproquement.
Evercices sur la Deuxième Réduction.
P. 577. Combien y a-t-il d’entiers dans 28?
P, 578. Trouvez les entiers contenus dans %.
P. 579. Quels sont les entiers contenus dans cette fraction 49,1?
P. 580. Combien y a-t-il d’entiers dans la fraction 35 ?
P. 581. Quels sont les entiers contenus dans la fraction 1734?
P. 582. Combien y at-il d’entiers dans la fraction
On demande combien il y a d’entiers dans
. 584. Combien y a-t-il d’entiers dans 64?
P.585. Dites combien il y a de jours dans 124 de jours?
P. 586. On demande combien il y a de degrés dans 120 de degrés?
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