RÈGLE DE TROIS SIMPLE
115. La Règle de Trois simple est une opération à laquelle donne lieu l’énoncé d’un problème qui renferme quatre termes d’une proportion, dont trois étant connus servent à découvrir le quatrième.
Par exemple, le problème suivant: 6 hommes ayant fait 42 toises d'ouvrage: combien 10 hommes en ferontils durant le même temps, renferme une règle de trois.
116. Quoique l’on distingue ordinairement cinq sortes de règle de trois, savoir: 1°. la directe simple, 2°. l’inverse simple, 3°. la directe double, 4°. l’inverse double, 6°, la composée, c’est-à-dire, en partie directe et en partie inverse, nous n’en reconnaïîtrons ici que de deux sortes: celles dont chaque terme n’est composé que d’un seul nombre, et que nous appelons pour ce sujet règles de trois simples, tel est l’exemple précédent ; et celles dont deux termes, quelquefois les quatre, sont composés
de plusieurs nombres, nous les nommons règles de trois composées, et elles renfermeront les quatres dernières espèces nommées ci-dessus.
L’exemple suivant renferme une règle de trois composée.
Combien faudra-t-il de jours à 8 hommes qui travaillent 10 heures par jour, pour faire un ouvrage de 25 toises de longueur et deux de largeur, sachant que 6 hommes ont fait en 15 jours, travaillant 12 heures par Jour, 30 toises d’un autre ouvrage qui a 3 toises de largeur?
117. Pour opérer sans employer les proportions un problème qui renferme une règle de trois, on divise la quantité qui est seule de son espèce par celle qu’il l'a produite ou qu’elle produit elle-même, et on multiplie le quotient par le troisième terme.
Soit, par exemple, à résoudre le premier problème ci-dessus: si je connaissais l'ouvrage que chaque homme a fait, je le multiplierais par 10, nombre d'hommes qui doivent être employés pour faire l'ouvrage demandé, ce qui donnerait la réponse: mais je connais l’ouvrage que 6 hommes ont fait et je cherche celui d’un seul, cette première question demande une division, et le quotient donnera l'ouvrage d’un seul homme: pour avoir celui de dix, il suflit de répéter dix fois cette quantité, ce qui exige une multiplication.
2. Exemple. Onze minots de blé coûtent 68 schellings, combien coûteront 15 minots du même lé? Je divise 68 par 11, et j'ai 6 schellings 4 pour le prix du minot, je multiplie ce nombre par 15, et j'ai 92.8 pour réponse.
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C’est ainsi qu’on peut opérer toutes les règles de trois directes; mais comme cette méthode présente quelques difficultés à cause’ des fractions qui peuvent résulter de la division, on peut, pour les éviter, commencer par la multiplication. Aïnsi dans le premier exemple, je multiplie 42 par 10 et j'ai 420; mais 420 est l'ouvrage de 6 hommes, j’ai donc un produit 6 fois trop fort; pour le réduire à sa juste valeur, il faut donc le diviser par 6. En appliquant le même raisonnement au second exemple on aurait 1 5x5 8=—92$..
118. Pour résoudre les règles de trois en faisant usage des proportions, il faut considérer d’abord que tout problème de ce genre renferme deux rapports. Soit, par exemple, le problème précédent ; 11 minots de blé coûtent 68 schellings, combien coûteront 15 minots du même blé? En divisant 68 par 11, j'aurai le prix du minot de blé: mais si je connais le prix des 15 minots, en le divisant par 15, j'aurais également le prix d’un minot, lequel doit être égal dans les deux cas; or, le quotient de chacune de ces divisions exprime le rapport qui règne entre les deux termes, et comme il est le même, j’en conclus que ces 4 termes forment une proportion que l’on peut écrire ainsi: 11 : 68 :: 15 : x. Le produit des moyens divisé par l’extrème connu donnera la réponse.
119. Pour placer convenablement les nombres qui composent les règles de trois, quand on veut les résoudre par les proportions, il faut avoir soin d’éerire les deux rapports dans le même ordre, c’est-à-dire qu'ils doivent commencer tous deux par les antécédens ou par les conséquens on remplace le terme inconnu par x.
Lorsque 140 sch. sont le prix de 14 verges de drap: combien faudra-t-il payer pour 20 verges du même drap?
Solution 140 : 14 verg : : x : 20 verges.
Je compose le premier rapport des schellings et des verges qu'ils ont données, le second doit être composé de la même manière ; mais ne connaissant pas les schellings de ce second rapport, je les remplace par l’z; l'inconnu se trouvant aux moyens, je fais le produit des extrêmes 140 et 20, il est de 2800 que je divise par 14, et j’ai pour réponse 200,
Autre Exemple.—Combien faut-il payer pour 280 verges de toile, lorsque pour 850 schellings on en reçoit 170 verges?
Solution :x:280: :850:170. Rép. 1400 sch.
Le premier terme du problème étant inconnu, je le remplace par l’x, et je mets son antécédent au deuxième terme. Je compose le deuxième rapport comme le premier, commençant par les schellings. Comme l’x est un extrême, je fais le produit des moyens 280 et 850, il est de 238000 que je divise par 170; la réponse est 1400.
Nota.—Quand l’x est aux conséquens et qu’un ou les deux antédens contiennent des subdivisions, il faut les réduire à la plus petite espèce contenue dans l’un d’eux, ou les conséquens si l’r est aux antécédens: ainsi dans 4 ver.: £4 10s. :: x : £7 10s. 6d. il faut réduire les conséquens en pence parce que le 2e en contient, etc.
120. On fait la preuve de la règle de trois par une autre règle de trois dans laquelle on change de place l'inconnu; s’il était au 4° terme dans la règle, on le met au 2° dans la preuve; sil était au 3° terme, on le met au premier, et réciproquement. Pour faire la preuve du dernier exemple, je mettrai donc 1400: 280
::x: 170, l'opération doit donner 850 pour réponse.
LA $ Questions sur la Règle de Trois.
115. Qu'est-ce que la règle de Trois?—116. Combien y a-t:il de sortes de règles de Trois? —117.Comment peut-on résoudre‘une question renfermant une règle de trois sans employer les proportions?—118. Comment peut-on résoudre les règles de trois en se
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servant des proportions?—119, Que faut-il observer pour placer convenablement les nombres qui composent les règles de trois, quand on veut les résoudre par les proportions? —120, Comment fait-on la preuve de la règle de trois?
ÆExercices sur les proportions, pour servir de préparation aux Règles de Trois.
Trouver le terme inconnu des proportions suivantes: P. 791. 10. 12:18::16: x 20, 18:24:: x :40 80, 25: x ::85:42 49, æ:72::36:48 59, 340: x ::720:72 6°. 8750: x ::175:174 P. 792. 10. £12:16 ver.::£18: zx 20, £18: x ::£24:40 verg.
30, 15 ver.: £45::50: x 40, 20 toi.: x ::14:£56 5%, 54 quint.:£9:: x :22 69. x :140::£35:245 verg.
P. 793. 19. 20X6:160::35X7: x 20, 12X30:7X8::18X x :14X4 39, 25X3:600::5X6: x X8 40, 254+7:48::32+8: x 50, 30+25:36::35+ x : 5646 69. 24X3:20X4:° x X9:8X36 P. 794. 10. £4 10s.:50 ver. :: x :754 ver.
20, 5 toi. 4 pi.:£4 158.::6 to.: x 30, £30 15s.:4 cwt. 3 qr. 12h.:x:5 on. 2 qr.
40, x : £50 128. 61.: ; 14 Ïb. 5 on. : £30 158. 59. 5 ïbs. 6 on. 4 gros.’ x ::5 on. 8 gros.:
£1 18s. 6d. 60. x :£14 108.::24 fbs. 14 dra. : £'8 9s.
Exercices sur la Règle de Trois Simple.
P. 795. J’ai acheté 6 verges de drap pour £4 108.: combien en aurai-je pour £22 10s.? Solution, 6:£4 108. : :æ:£22 108.
P. 796. Si 57 quint. de sucre coûtent £216: quel sera le prix de 95 quint.? Solution, 57:216: :95:x.
P. 797. Quel est le prix de 900 rames de papier: sachant que 275 rames coûtent £330? Solution, x :900 ::830:275.
P. 798. Si 148 gallons de liqueur coûtent £119 10s.: combien en aura-t-on pour £89 128. 6d.?
P. 799. 52 quint. 1 qr. 4 Ibs. de farine coûtent £114: quel sera le prix de 122 quint.?
P. 800. Ayant payé £51 pour 10 quint. 2 qr. 14 Ibs. de sucre: combien dois-je payer pour 8 quint. 1 qr. 14 Ibs?
P. 801. Si 19 quint. 8 qr. 21 lbs. de bœuf, coûtent £36: combien coûteront 46 quint. 1 qr. 20 Ibs.
P. 802. La rente de 10 arpents de terre étant de £4 13s. 4d.: combien en louera-t-on pour £70 10s. 6d.?
P. 803. Combien aura-t-on de blé pour £64 3s. 24d.: à 18s. 3d. le quint.?
P. 804. Si 6 quint. 8 qr. 12 1bs. de farine coûtent £9: quel est le prix de 4 quint. 2 qr.?
P. 805. Combien coûteront 13 quint. de lard: si 89 quint. 1 qr. 11 1bs. coûtent £59 1s. 3d.?
P. 806. Si 63 gallons de vin coûtent £41 10s. 6}d; combien coûtent 10 gallons?
P. 807. 4} verges de drap coûtent £5 14s. 4d.: combien coûteront 20 verg. au même prix?
P. 808. Lorsque 15 personnes dépensent £6 8s.: combien 20 dépenseront-elles?
P. 809. Si 1} verge de coton coûte 2s. 6d.: combien coûtent 241 verges?
P. 810. Combien coûteront 24 Ibs. de thé: si 14 once coûte 644. ?
P. 811. Si 24 quint. de café coûtent £42: quel sera le prix de 12 onces?
P. 812. Si 1 onc de tabac coûte 6d.: quel est le prix de 3 quint. 3 qr. 18 Ibs.?
P. 813. Quel est le prix de 7 paniers de thé de chacun 2% quint.: si 51 Ibs. coûtert £8 108.?
P. 814. Combien aura-t-on de thé pour £7 8s. 5id.: quand 14 quint. 3 qr. coûtent £436 8s. 11d.?
P. 815. Combien un homme gagnera-t-il en 146 jours à £37 4s. 1d. dans un an?
P. 816. Quel est le prix de 6 fromages de chacun 143 Ibs.: si 7 Ibs. coûtent 38. 41d.?
P. 817. Si un tonneau de fer coûte £23 6s. 8d.; combien peut-on en avoir pour 64d?
P. 818. Une machine à carder travaille 21 1b. de laine dans 1 heure 4% minutes: combien mettra-t-on de temps pour carder 54 Ib?
P. 819. Si un ouvrier fait 40 dents de peignes dans une heure: combien en fera-t-il en 6 jours travaillant 8 heures par jour?
P. 820. Vingt-quatre paquets de houblon de chacun 1 quint. 2 qr. 17 Ib. ont été payés £201 3s. 9d.; quel est le prix du quintal?
P. 821. On a employé 5505 1b. de plomb pour couvrir 5 maisons : combien a-t-on dépensé à 39 sch. par quintal?
P. 822. En 25 jours un menuisier a fait 30 toises d'ouvrage: combien en fera-t-il en 125 jours?
P. 823. La dette d’un banqueroutier est de £9356: combien paiera-t-il à raison de 11s. 6d. par louis?
P. 824. Un homme qui devait £1920, en a payé 1008 à ses créanciers: combien leur a-t-il payé par louis?
P. 825. Quel est l'intérêt de £1750 pour un an, à 5 par cent?
P. 826. Combien coûte la commission de £256 188. 24d. à 5 par cent?
P. 827. Si une certaine somme donne £64 5s. 6d. de gain dans un an: combien en donnera-t-elle dans 15 mois ?
P. 828. Si £150 donne £7 dans 10 mois: combien £225 donneront-ils?
P. 829. Pour 3s. on a 144 plumes: combien en aurat-on pour 168. Gd.?
P. 830. Lorsque 6 chevaux coûtent £66 125.: combien 18 coûteront-ils?
P. 831. En 12 jours un ouvrier gagne 365. 9d.: combien gagnerait-il en 324 jours?
P. 832. Une botte de soie pesant 2% quint. coûte £18 7s.: combien coûterait -elle sielle pesait 7 quint. 22 ïb.?
P. 833. Lorsqu'on nourrit 1920 hommes avec 16 quint. 18 Ïb. de pain: combien en nourrira-t-on avec 11 quint. 20 ib.?
P. 834. Lorsque 1s. 2d. sont le prix d’une douzaine d'œufs: à combien revient le cent?
P. 835. S'il faut 41 hommes pour faire 100 tois. 14 pieds car. d'ouvrage: combien 66 hommes et 13 enfans, faisant chacun moitié de l’ouvrage d’un homme en ferontls?
P. 836. 38 hommes ont fait 165 verges d'ouvrage : combien 198 hommes en feront-ils ?
louis?
6d. de ins 15
ombien n aura- .? com- .: comte £1S 22 ïb.?
avec 16 avec 11 ouzaine tois. 14 13 en-
homme
uvrage :
P. 837. Deux pièces de drap de même qualité coûtent, la première £335, la seconde £390, on demande la largeur de l’une et de l’autre, sachant que la 2me à 11 verg. plus que la 1'6?
P. 838. Lorsqu'on donne 8500 pommes pour 87s. 6d.: à combien revient le mille?
P. 839. Lorsque le mille d’oranges se vend 1505.: combien en aura-t-on pour £35 155. 8d.?
P. 840. Un particulier devant £455 ; son créancier lui accorde 15s. 6d. de rabas par £100, combien celuici recevra-t-il ?
ES
