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Soit, par exemple, le nombre 12 à élever à son carré ; ce nombre est composé d’une dizaine et de 2 unités.

Disposons le calcul comme il suit :

100 carré des dizaines 20 prod. des diz. par les unités 20 14, 4 carré des unités.

Commençons la multiplication par les dizaines, ce qui est indifférent, et disons: 10 fois 10==109, carré des dizaines ; 10 fois 2=20, produit des dizaine; par les unités ; puis 2 fois 10=—29 encore une fois les dizaines par les unités ; enfin 2 fois 2=—4 carré des unités : total 144 ; donc le carré d’un nombre est com-

posé du carré des dizaines, etc.

164, On appelle racine carrée d’un nombre, le nom-

bre qui, étant multiplié par lui-même, reproduit ce même nombre.

Ainsi les nombres 1, 4, 9, 16, 25, 86, 49, G4, 81, ont pour racine carrée 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

165. Pour extraire la racine carrée d’un nombre, il faut d’abord le partager en tranches de deux chiffres chacune, en allant de droite à gauche ; la dernière à gauche pourra n’en contenir qu'un; on examinera ensuite quel est le plus grand carré contenu dans cette tranche à gauche, dont on posera la racine à droite ; puis ayant soustrait son carré de cette même tranche, on mettra le reste dessous ; à côté de ce reste, on descendra la tranche suivante, et, de ce nombre, on séparera par un point la figure à droite.

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166. Pour avoir le second diviseur, on double laracine trouvée, ce qui est le double des dizaines ; on cherche combien ce double est contenu de fois dans les chiffres qui précèdent celui de la droite ; on écrit le quotient à droite de la racine ; on écrit aussi ce même quotient à côté du double des dizaines ; on multiplie chaque chiffre de ce diviseur par le quotient, et le produit se soustrait du membre dont on a pris la racine, de la manière qu’on le fait dans la division: on fait autant d'opérations semblables qu’il y a de tranches dans le nombre dont on veut avoir la racine.

167. 11 doit y avoir à la racine autant de chiffres qu'il 3 a de tranches dans le nombre donné.

Soit à extraire la racine carrée de 4096.

OPÉRATION

Il est évident que le carré des dizaines ne peut se trouver que dans les centaines ; car 10X10—10) ; c’est pourquoi on a séparé 40 de 96 poar extraire la racine carrée de quarante qui est 6. Je carre G et j'ai 36 que je retranche de 40 ; il reste 4 à côté duquel j'écris l’autre tranche 96, et j'ai 496 ; or ce reste contient 2 fois les dizaines multipliées par les unités, plus le carré des unités (N°. 163) ; mais le double des di- ’aines multiplié par les unités, ne peut donner moins que des dizaines ; ce produit est donc contenu dans 49, on en sépare la dernière figure G par un point. Maintenant donc, pour avoir les unités, il ne s’agit plus que de diviser 49 par le double des dizaines, lequel égale 12 : le

RS US tee

quotient égale 4 Si ce nombre égale effectivement les unités, il faut qu’on puisse retrancher le produit du double des dizaines par 4, plus le carré de 4, de 496. Comme cette opération s'effectue exactement, on en conclut que 64 est la racine carrée exacte de 4096.

Si le nombre dont on veut avoir la racine avait trois tranches, le carré des dizaines se trouverait évidemment dans les centaines. Pour avoir la racine carrée de ces centaines, on calcule comme dans un nombre de deux tranches, et pour avoir les unités on raisonnerait comme dans l’exemple précédent.

EXEMPLE

On demande la racine carrée de 459643. R. 677, et il reste 1314.

OPÉRATION