Une proportion est l’égalité de deux rapports

2, Un rapport est le résultat de la comparaison de deux nombres.

3. On désigne les quatre termes qui entrent dans une proportion, par des noms qui leur sont affectés, le 1er et le 3e sont appelés antécédents ; et le 2e et le 4e conséquents ; le 1er et le dernier se nomment aussi extrêmes et les deux du milieu moyens.

4. Les propriétés fondamentales des proportions sont les suivantes. 1°. Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes. Soit la proportion 2:4::8: 6. En exprimant la raison de chaque rapport par une fraction, nous aurons £ et %, et ces deux fractions réduites au même dénominateur (No. 70), seront £$i£. Or, par cette opération nous n'avons pas troublé la proportion ; en la rétablissant, nous avons 12:24::12:24 ; mais les fractions des moyens sont les mêmes que ceux des extrêmes, donc &c.

Il résulte de là qu’on peut changer l’ordre des termes d’une proportion sans la troubler, pourvu que dans celui dans lequel on l’a établie, le produit des moyens soit

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ns sont égal au :9: 6.

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éduites Or, par rtion ; ; Mais 1x des

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toujours égal à celui des extrêmes. Ainsi la proportion ci-après peut avoir toutes les formes suivantes : 12: 3::20: 5 5:20:: 3:12 12:20:: 3: 5 5: 8::20:12 8:12:: 5:20 20:12:: 5: 3 3: 56::12:20 20: 5::12: 8 En effet, dans tous ces arrangemens, le produit des extrêmes et celui des moyens est toujours l’un des deux produits 12X5, 3 X20.

Il résulte de là que, pour avoir un extrême inconnu, il faut faire le produit des moyens, et le diviser par l’extrême connu;de même pour avoir un moyeninconnu, il faut faire le produit des extrêmes, et le diviser par le moyen connu, le quotient donnera, le terme demandé soit à trouver le 4e terme de cette proportion 15:5:; 21: x.

Solution 5X 21=105 Re; En effet, 15 qui est ici diviseur, «est le facteur d’un produit égal à celui de 5 par 21 ; mais en divisant un produit par l’un de ses facteurs, l’autre facteur vient au quotient ; donc pour avoir un extrême inconnu, &c. Soit encore cet autre exemple, 18: 24::x: 28, Solution 18X28=—504

em = 2 1

En effet, le diviseur 24 est le facteur d’un produit égal à celui de 18 par 28, mais en divisant un produit par ‘’un de ses facteurs, il vient au quotient l’autre facteur ; donc pour avoir un moyen inconnu, il faut &c., 2°. Si on ajoute chaque conséquent à son antécédent

ou si on l'en retranche, la proportion est encore exis- H?

tante. Soit la proportion 12: 10::48: 40 ; la difference des deux termes du premier rapport est 2 (12— 10=2); celles des deux termes du second est 8 (48—40=8) ; or on a 2:10::8 : 40. En effet, en retranchant les conséquens des antécédens, on a diminué les deux rapports de chacun une unité, ils sont donc demeurés égaux. Au contraire, les rapports seraient augmentés d’une unité et seraient encore égaux si on ajoutait chaque conséquent à son antécédent.

3°. La somme des antécédents est à la somme des conséquents, comme nn antécédent est à son conséquent. Soit la proportion 4: 2::6:3 ; on peut changer les moyens de place et écrire 4: 6::2: 3 ; on peut ensuite ajouter chaque conséquent à son antécédent, et on aura 446 : 24+3::6 : 3. S'il y avait un plus grand nombre de rapports égaux, on le démontrerait de même.

4°, Si l’on multiplie ou si l’on divise l’un des rapports ou tous les deux par un même nombre, la raison entre les termes de chaque rapport sera toujours la même, et par conséquent on n’aura rien changé à la proportion ; soit les deux rapports 6: 2 et 9: 3 formant la proportion 6:2::9:3. Remarquons d’abord que dans chacun de ces rapports, la raison peut être exprimée par une fraction, par exemple : 6: 2 par $ et 9: 3 par 3. Mais on a vu que lorsqu'on multiplie les deux termes d’une fraction par un même nombre, on ne trouble pas le rapport qui existe entre eux : donc, &c. Par une suite nécessaire, si l'on divise les deux termes d’un rapport par un même nombre, la raison ne sera pas changée.

5°, Si l’on multiplie ou si l’on divise les deux anté-

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cédens ou les deux conséquens par un même nombre, la proportion ne sera pas troublée. Ceci est évident, dans la proportion suivante, par exemple, 4 : 2::6:3, si nous multiplions 4 qui contient 2 fois 2, par 3, par exemple, nous aurons pour produit 12 qui contiendra 2 fois 2 autant de fois que le nombre 3 contient d’unités, c'est-à-dire 6 fois (12=6) ; mais en multipliant par 3 le nombre 6 qui contient 3 deux fois, nous aurons aussi un produit qui contiendra 2 fois 3 autant de fois qu’il y a d'unités dans 18, c’est-à-dire 6 f is (#=6). Onle démontrerait d’une manière anal pour les conséquens.

Par une suite nécessaire, si l’on divise au lieu de multiplier, la même propriété aura lieu,

G°. Quand on multiplie terme à terme deux proportions, les produits résultant de ces opérations forment encore une proportion. Par exemple, soit les deux proportions.

Les quatre produits forment la proportion 15 : 42 : : 60 : 168. En effet, les deux proportions 8:6:4:8 et 5:7 : : 15 : 21 hs les égalités.

s=uetr=it

Et en multipliant terme à taie ces deux égalités on aura.

EX = EXET ou 45 = 174, donc &e.

Questions sur les Proportions.

Qu'est-ce qu'une proportion ? 1. Qu'est-ce qu’un rapport ? 2. Comment désigne-t-on les quatre termes qui entrent dans une