I. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES

98. Principe 1. Lorsque, deux nombres étant donnés, le plus grand est divisible par le plus petit, le plus petit est le plus grand commun diviseur entre eux.

Ainsi, entre 72 et 24 qui divise exactement 72, le plus grand commun diviseur est 24. En effet, 24 divise 72 et se divise luimême; il est donc diviseur commun à 72 et à 24. D'ailleurs il est le plus grand des diviseurs communs , puisqu'aucun nombre plus grand que 24 ne saurait diviser 24.

99. Principe ii. Lorsque^ deux nombres étant donnés, le plus grand n'est pas divisible par le plus petit , leur plus grand commun diviseur est le même que celui qui existe entre le plus petit et le reste de leur division.

Ainsi 84 n'est pas divisible par 35 ; la division donne 2 pour quotient et 14 pour reste. Il faut prouver que le plus grand commun diviseur entre 84 et 35 est le même que celui qui existe entre 35 et 14. En effet, la division de 84 par 35 conduit à l'égalité

70 LIVRE n.— CHAPITRE II.

laquelle exprime que 84 est la somme de deux parties dont Tune est un multiple de 35;, et dont l'autre est le reste i4 de la division.

Or, 1° Tout diviseur commun à 84 et à 35, divisant la somme 84 et l'une des parties (77), savoir le multiple de 35, doit diviser Tautre (78), qui est le reste 14. Ainsi tout diviseur commun à 84 et à 35 est diviseur commun à 35 et à 14.

2" Tout diviseur commun à 35 et à 14 , divisant les deux parties, savoir le multiple de 35 et 14, divise aussi (76) leur somme qui est 84. Donc tout diviseur commun à 35 et à 14 est diviseur commun à 84 et à 35.

11 résulte de ces deux propositions que les diviseurs communs à 84 et à 35, et les diviseurs communs à 35 et à 14, sont exactement les mêmes ; et que , si l'on construisait deux tableaux contenant, Tun les diviseurs communs à 84 et à 35, et l'autre les diviseurs communs à 35 et 14. ces deux tableaux seraient identiques. Le plus grand nombre serait donc le même dans chaque tableau; en d'autres termes, le plus grand commun diviseur entre 84 et 35 est le même qu'entre 35 et 14.

Corollaire. Tout nombre qui divise deux nombres divise le reste de leur division.