DU PLUS GRA]SD COMMUN DIVISEUR

On opère ordinairement de la manière suivante :

360,108,84,64^ T 8. I"' groupe.

3 6 , 84,64, 18. 2* grou|)e.

12 ,64,18. 3^ grou[)e.

4 ,18. 4' groupe.

On cherche le plus grand commun diviseur 36 des deux premiers nombres 36o et io8; puis le plus grand commun diviseur 12 entre celui qu'on vient de trouver, 36, et un troisième nombre 84; puis le plus grand commun diviseur 4 entre ce dernier 12 et un quatrième nombre 64. Et Von continue ainsi , jusqu'à ce que le système soit réduit à deux nombres /i et 18. Leur plus grand commun diviseur 2 est le plus grand commun diviseur cherché.

109. Principe vu. Tout nombre qui divise plusieurs nombres divise leur plus grand commun diviseur.

En effet, dans Texemple qui précède (108), (ont nombre qui divise les cinq nombres du premier groupe divise les quatre nombres du second : parla même raison, il divise les trois nombres du troisième groupe, puis les deux nombres du quatrième, et par suite le plus grand commun diviseur 2 de ces deux derniers (104). C'est ce qu'il fallait démontrer.

110. Principe viii. Si Von multiplie i)lusieurs nombres par un même nombre, le plus grand commun diviseur des produits est le produit du plus grand commun diviseur des nombres donnés par le multiplicateur.

En effet, considérons encore l'exemple qui précède, et multiplions par 7 les cinq nombres du premier groupe ; les produits sont :

360x7, îo8><7, 84x7, 64x7, 18x7.

Le plus grand commun diviseur entre (36oX7) et (108x7) est (36x7), d'après le principe iv (105) : les termes du second groupe sont donc

On prouve de la même inanière que les termes des autres groupes sont multipliés par 7. Le plus grand commun diviseur est donc multiplié par 7. C'est ce qu'il fallait démontrer.

On en conclut que, si Von divise plusieurs nombres par un même diviseur, le plus grand commun diviseur des quotients est le quotient du plus grand commun diviseur primitif par le diviseur.

11 i. Principe IX. Si l'on divise plusieurs nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients obtenus sont premiers entre eux. En effet, d'après le principe précédent, le plus grand commun diviseur des quotients est le quotient du plus grand commun diviseur des nombres par lui-même, c'est-à-dire l'unité : les quotients sont donc premiers entre eux.

EXERCICES

I. Trouver le plus grand commun diviseur entre 24782 et 6552. (Rép.:36.)

II. Trouver le plus grand commun diviseur entre 58784 et 3872. (Rép.: 352.)

lïï. Trouver le plus grand commun diviseur entre 228456, 4/9^2 et 6804. (Rép.: 36.)

IV. Trouver le plus grand commun diviseur entre 546264, 372686, i653i2 et 87408. (Rép.: 36.)

V. Si l'on reconnaît que deux nombres donnés admettent un diviseur commun, on peut diviser les deux nombres par ce facteur, puis chercher le plus grand commun diviseur des quotients, et multiplier le résultat par le facteur supprimé : le produit est le plus grand commun diviseur des nombres donnés.